Triangles
Les figures géométriques les plus solides !
Salut ! Aujourd'hui, nous allons explorer le monde fascinant des triangles. Tu vas voir que ces figures à trois côtés sont partout autour de toi, des structures des ponts aux tranches de pizza ! Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les reconnaître, à les classer et surtout à les construire toi-même avec précision. Prêt à devenir un expert en triangles ?
Objectifs du chapitre
- Reconnaître et nommer les différents types de triangles
- Comprendre et appliquer l'inégalité triangulaire
- Maîtriser les techniques de construction d'un triangle
- Connaître la somme des angles dans un triangle
Le cours
1. Qu'est-ce qu'un triangle ?
Un triangle est une figure géométrique fermée qui possède exactement trois côtés et trois angles. Ces trois côtés sont des segments de droite qui relient trois points non alignés, appelés les sommets du triangle. On le nomme généralement par ses trois sommets, par exemple le triangle ABC. C'est la figure polygonale la plus simple, et c'est aussi la seule qui est toujours rigide, c'est-à-dire qu'elle ne se déforme pas, ce qui explique son utilisation en architecture.
Exemple
Imagine un trépied pour appareil photo, les trois pieds et le sol forment un triangle. Les panneaux de signalisation routière 'cédez le passage' ou 'danger' sont aussi souvent de forme triangulaire.
Formule
Aucune formule ici, mais une définition : Triangle = 3 côtés + 3 sommets + 3 angles.
Astuce
Pense au mot 'tri' qui veut dire trois. Triangle = trois angles. C'est logique !
2. Classer les triangles selon leurs côtés
On peut classer les triangles en observant la longueur de leurs côtés. Si les trois côtés ont des longueurs différentes, le triangle est quelconque ou scalène. Si au moins deux côtés ont la même longueur, on parle de triangle isocèle. Le sommet commun aux deux côtés égaux s'appelle le sommet principal. Et si les trois côtés sont de même longueur, c'est un triangle équilatéral, qui est un cas particulier du triangle isocèle.
Exemple
Scalène : un terrain de football vu du coin (les côtés sont tous différents). Isocèle : le toit d'une maison classique avec deux pentes identiques. Équilatéral : le logo de la marque 'Play' (triangle rouge) ou un dé à jouer.
Formule
Pour un triangle ABC : - Scalène : AB ≠ BC ≠ CA - Isocèle en A : AB = AC - Équilatéral : AB = BC = CA
Astuce
Pour retenir : ISOcèle, pense à 'ISO' qui veut dire 'égal' (comme dans isotherme). ÉquiLATÉral, pense à 'LAT'éral, tous les côtés (les latéraux) sont égaux.
3. Classer les triangles selon leurs angles
On peut aussi classer les triangles en fonction de la mesure de leurs angles intérieurs. Un triangle qui possède un angle droit (mesurant 90°) est un triangle rectangle. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, c'est aussi le plus long côté. Un triangle qui a un angle obtus (supérieur à 90°) est un triangle obtusangle. Enfin, un triangle dont les trois angles sont aigus (inférieurs à 90°) est un triangle acutangle.
Exemple
Rectangle : l'équerre de ton trousseau est un triangle rectangle. Obtusangle : un morceau de pizza très large. Acutangle : la forme d'une flèche ou d'une pointe de crayon bien taillée.
Formule
Pour un triangle ABC : - Rectangle en A : l'angle  = 90° - Obtusangle : un angle > 90° - Acutangle : les trois angles < 90°
Astuce
Rectangle : pense à ton équerre, c'est le plus facile. Obtusangle : 'obtus' ça sonne comme 'obèse', c'est un angle gros (>90°). Acutangle : 'aigu' comme une aiguille, c'est pointu (<90°).
4. La règle fondamentale : l'inégalité triangulaire
Cette règle est essentielle pour savoir si, avec trois longueurs données, on peut vraiment construire un triangle. Elle dit que dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. En pratique, pour vérifier si trois longueurs a, b et c peuvent former un triangle, il faut que chacune soit inférieure à la somme des deux autres. Si ce n'est pas le cas, les segments sont trop courts pour se rejoindre.
Exemple
Avec des bâtons de 5 cm, 3 cm et 9 cm, peut-on faire un triangle ? Vérifions : 9 < 5+3 ? Non, car 9 n'est pas inférieur à 8. Donc c'est impossible. Par contre, avec 5 cm, 6 cm et 8 cm, ça marche car 8 < 5+6, 6 < 5+8 et 5 < 6+8.
Formule
Pour un triangle de côtés a, b et c : a < b + c b < a + c c < a + b
Astuce
Imagine que les côtés sont des planches. Pour fermer le triangle, aucune planche ne doit être plus longue que les deux autres mises bout à bout, sinon il y a un 'trou' !
5. Construire un triangle
Construire un triangle, c'est tracer une figure précise à partir de données. On peut le construire connaissant la longueur de ses trois côtés (construction au compas), connaissant deux côtés et l'angle qu'ils forment, ou connaissant un côté et les deux angles adjacents. La construction au compas avec trois côtés est la plus courante. Elle repose sur le fait que chaque sommet est à une distance fixe (la longueur d'un côté) des deux autres.
Exemple
Pour construire un triangle ABC avec AB = 6 cm, AC = 5 cm et BC = 4 cm : 1. Trace le segment [AB] de 6 cm. 2. Pointe ton compas en A, écarte-le à 5 cm (longueur AC) et trace un arc de cercle. 3. Pointe ton compas en B, écarte-le à 4 cm (longueur BC) et trace un autre arc de cercle. 4. Le point d'intersection des deux arcs est le sommet C. Relie C à A et à B.
Formule
Pas de formule, mais une méthode : 1. Tracer un côté. 2. Tracer des arcs de cercle depuis les extrémités avec les rayons correspondants aux autres côtés. 3. Joindre l'intersection.
Astuce
N'oublie pas de nommer tes sommets avec des lettres MAJUSCULES (A, B, C) et tes côtés avec des lettres minuscules (a, b, c) ou les noms des segments ([AB], [BC], [CA]).
6. La somme des angles dans un triangle
Voici une propriété magique et très utile : dans n'importe quel triangle, la somme des mesures de ses trois angles intérieurs est toujours égale à 180 degrés. Peu importe que le triangle soit grand, petit, rectangle ou isocèle, cette somme est constante. Cette propriété permet de calculer la mesure d'un angle quand on connaît les deux autres.
Exemple
Dans un triangle, si tu connais un angle de 60° et un autre de 70°, le troisième angle mesure 180 - (60 + 70) = 50°. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme fait 90° (car 180 - 90 = 90).
Formule
Pour un triangle ABC : Â + B̂ + Ĉ = 180°
Astuce
Pour retenir les 180°, pense à un demi-tour complet (un angle plat). Si tu 'casses' les trois coins d'un triangle et que tu les colles bord à bord, tu obtiens toujours un angle plat de 180°.
Notions clés à retenir
Sommet
Point où se rencontrent deux côtés d'un triangle. On le note avec une lettre majuscule (A, B, C...).
Côté
Segment de droite qui relie deux sommets consécutifs d'un triangle.
Triangle isocèle
Triangle qui a au moins deux côtés de même longueur.
Triangle équilatéral
Triangle qui a ses trois côtés de même longueur (et ses trois angles mesurent 60°).
Triangle rectangle
Triangle qui possède un angle droit (90°). Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse.
Inégalité triangulaire
Propriété qui dit que la longueur d'un côté d'un triangle est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Somme des angles
Propriété fondamentale : dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles intérieurs est égale à 180°.
Erreurs à éviter
- ✗Confondre 'isocèle' et 'équilatéral' : Un triangle équilatéral est un cas particulier d'isocèle (il a DEUX paires de côtés égaux, donc trois en fait), mais l'inverse n'est pas vrai. Un triangle isocèle n'a pas forcément trois côtés égaux.
- ✗Oublier l'inégalité triangulaire avant de construire : Beaucoup d'élèves essaient de construire un triangle avec trois longueurs qui ne respectent pas l'inégalité (par exemple 2 cm, 3 cm, 7 cm). Résultat : les arcs de cercle ne se croisent pas ! Il faut toujours vérifier avant de tracer.
- ✗Mal nommer les éléments : Appeler un côté 'AB' mais écrire 'ab' en minuscules, ou inversement, appeler un sommet avec une lettre minuscule. La convention est importante : les sommets en MAJUSCULES (A), les côtés en minuscules (côté a = [BC]) ou avec les noms des sommets ([AB]).
Types d'exercices
Reconnaissance et classification
Donner une série de triangles dessinés (avec ou sans mesures) et demander de les classer selon leurs côtés (scalène, isocèle, équilatéral) et selon leurs angles (rectangle, obtusangle, acutangle).
Vérification de l'inégalité triangulaire
Donner des triplets de longueurs (ex : 4cm, 5cm, 10cm) et demander si on peut construire un triangle avec ces mesures, en justifiant par le calcul de l'inégalité.
Construction précise
Donner trois longueurs respectant l'inégalité triangulaire et demander la construction au compas et à la règle du triangle, avec soin et nommage des sommets.
Calcul d'angle manquant
Dans un triangle, donner la mesure de deux angles et demander de calculer la mesure du troisième en utilisant la propriété de la somme égale à 180°.
Pour aller plus loin
- Les triangles semblables (agrandissement/réduction) que tu verras plus tard.
- Le théorème de Pythagore (spécifique aux triangles rectangles, vu en 4ème).
- Les droites remarquables dans un triangle : médiatrices, médianes, hauteurs et bissectrices.
