Symétrie centrale
Le monde à l'envers autour d'un point !
Imagine que tu poses un miroir sur un point précis d'une feuille. La symétrie centrale, c'est un peu comme ce reflet, mais sans le miroir ! C'est une transformation géométrique très importante qui va te permettre de comprendre comment créer l'image d'une figure en la 'retournant' complètement autour d'un point central. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à la définir et surtout à la construire avec précision.
Objectifs du chapitre
- Comprendre la définition d'une symétrie centrale et son vocabulaire.
- Savoir construire le symétrique d'un point par rapport à un centre.
- Savoir construire le symétrique d'une figure simple (segment, triangle).
- Reconnaître et utiliser les propriétés de conservation de la symétrie centrale.
Le cours
1. Qu'est-ce qu'une symétrie centrale ?
La symétrie centrale est une transformation du plan. Elle se définit par un point unique, appelé le centre de symétrie. Pour transformer une figure, on prend chaque point de cette figure et on le 'retourne' de l'autre côté du centre. Le point de départ et son image sont toujours à égale distance du centre et parfaitement alignés avec lui. On dit que deux figures sont symétriques par rapport à un point O si on peut passer de l'une à l'autre par une symétrie de centre O.
Exemple
Pense à une manette de jeu vidéo avec deux joysticks. Si tu places le centre de symétrie au milieu, le joystick gauche et le joystick droit sont symétriques par rapport à ce centre. Ils sont à la même distance du centre et parfaitement opposés.
Formule
Si A' est le symétrique de A par rapport au point O, alors O est le milieu du segment [AA']. Donc : OA = OA' et les points A, O et A' sont alignés.
Astuce
Pour retenir la définition, pense à l'expression "Miroir autour d'un point". Le centre O est comme un clou planté au milieu d'une ficelle dont les deux extrémités sont A et A'.
2. Construire le symétrique d'un point
C'est l'opération de base. Pour construire le symétrique A' d'un point A par rapport au centre O, tu dois te servir de ta règle et de ton compas. L'objectif est de placer A' de telle sorte que O soit exactement au milieu du segment [AA']. La méthode au compas est la plus précise. Tu vas utiliser le fait que A et A' sont sur un même cercle de centre O.
Exemple
Sur ta feuille, place un point O et un point A à 4 cm de O. Comment trouver A' ? Trace le cercle de centre O passant par A. Puis, à la règle, trace la demi-droite [OA). Le point où cette demi-droite coupe à nouveau le cercle est le point A'. Tu peux vérifier avec ta règle que OA = OA'.
Astuce
Méthode rapide avec la règle seule : Trace la droite (AO). Place ta règle pour mesurer la distance OA. Puis, reporte cette même distance de l'autre côté de O, sur la même droite. Marque le point A'. C'est fait !
3. Construire le symétrique d'une figure
Pour construire le symétrique d'une figure entière (comme un segment, un triangle ou une lettre), il suffit de construire le symétrique de chacun de ses points importants : ses sommets. Une fois que tu as les symétriques de tous les sommets, tu les relies dans le même ordre pour reconstituer la figure image. La figure obtenue aura exactement la même forme et les mêmes dimensions que la figure de départ, mais elle sera 'retournée'.
Exemple
Tu as un triangle ABC et un centre O. 1) Construis le symétrique A' de A par rapport à O. 2) Construis le symétrique B' de B par rapport à O. 3) Construis le symétrique C' de C par rapport à O. 4) Relie les points A', B' et C' pour former le triangle A'B'C'. Tu obtiens un triangle identique à ABC, mais orienté dans l'autre sens.
Astuce
Pour ne pas te tromper en reliant les points, suis le même chemin que sur la figure de départ. Si tu as relié A à B puis B à C sur l'original, relie A' à B' puis B' à C' sur l'image.
4. Les propriétés qui ne changent pas (conservées)
La symétrie centrale est une transformation qui préserve beaucoup de choses. On dit qu'elle conserve les longueurs, l'alignement, les angles et les aires. Cela signifie que le symétrique d'un segment aura la même longueur, le symétrique d'une droite sera une droite, le symétrique d'un angle aura la même mesure et le symétrique d'une figure aura la même aire. C'est une transformation rigoureuse qui ne déforme pas.
Exemple
Si un segment [AB] mesure 5 cm, alors son symétrique [A'B'] mesurera aussi exactement 5 cm. Si un angle ^ABC mesure 60°, alors son symétrique ^A'B'C' mesurera aussi 60°. C'est très utile pour démontrer des égalités en géométrie.
Astuce
Pense à un tampon encreur qui imprime un motif. Le motif sur le tampon et l'empreinte sur la feuille sont symétriques par rapport au point de contact. Ils ont la même forme et la même taille, mais sont inversés.
Notions clés à retenir
Centre de symétrie
Point fixe par rapport auquel on effectue la transformation. C'est le point milieu entre tout point et son image.
Symétrique d'un point
Pour un point A et un centre O, le symétrique A' est le point tel que O soit le milieu du segment [AA'].
Figure symétrique
Figure obtenue après avoir appliqué une symétrie centrale à tous les points d'une figure de départ.
Transformation
Opération géométrique qui associe à chaque point du plan un autre point du plan. La symétrie centrale en est une.
Erreurs à éviter
- ✗Ne pas aligner les points : Placer A' n'importe où en ne respectant pas l'alignement A, O, A'. Pour l'éviter, trace toujours la droite (AO) en premier.
- ✗Confondre avec la symétrie axiale : Utiliser une droite (un axe) comme référence au lieu d'un point. Souviens-toi : centrale = centre (point), axiale = axe (droite).
- ✗Oublier de reporter la bonne distance : Placer A' à une distance de O différente de celle de A. Utilise ton compas pour reporter la distance OA de l'autre côté de O.
Types d'exercices
Construction de base
Sur une figure donnée avec un point O et plusieurs points (A, B, C...), construire leurs symétriques par rapport à O.
Symétrie d'une figure simple
Construire le symétrique d'un segment, d'un triangle ou d'un quadrilatère par rapport à un centre O.
Compléter une figure symétrique
Une figure et son centre O sont donnés, ainsi qu'une partie de l'image. Il faut compléter l'image manquante.
Trouver le centre
Deux figures symétriques sont données. Il faut trouver et construire le centre de symétrie O.
Pour aller plus loin
- Les figures possédant un centre de symétrie (comme le rectangle, le losange, le cercle).
- La symétrie centrale dans la nature et dans les logos (ex: logo de Renault).
- Le lien entre symétrie centrale et rotations (une symétrie centrale est une rotation de 180°).
