Proportionnalité
Pourcentages, échelles et vitesses : les maths du quotidien !
Tu te demandes à quoi servent les maths dans la vraie vie ? Ce chapitre est fait pour toi ! On va découvrir ensemble des outils super utiles que tu utilises déjà sans le savoir. Tu vas apprendre à calculer des soldes, lire une carte ou comprendre une vitesse. C'est plus simple que tu ne le penses, et ça va te rendre plus fort pour plein de situations !
Objectifs du chapitre
- Comprendre et utiliser la notion de pourcentage
- Savoir lire et utiliser une échelle sur une carte ou un plan
- Calculer une vitesse moyenne à partir d'une distance et d'un temps
- Reconnaître et résoudre des problèmes de proportionnalité dans différents contextes
Le cours
1. Les pourcentages : la part du gâteau
Un pourcentage, c'est une façon simple de parler d'une partie par rapport à un tout, comme si ce tout était divisé en 100 parts égales. Le symbole % veut dire 'pour cent', c'est-à-dire 'sur cent'. Quand on dit '30%', on imagine qu'on a pris 30 parts sur les 100. C'est très utilisé pour parler de réductions (les soldes), de composition (ingrédients dans un yaourt) ou de statistiques (résultats d'un sondage).
Exemple
Dans une classe de 25 élèves, 40% font du football. Pour trouver combien d'élèves cela représente, on calcule : 40% de 25 = (40/100) x 25 = 0,4 x 25 = 10. Donc, 10 élèves font du football.
Formule
Pourcentage = (Valeur partielle / Valeur totale) x 100 Pour trouver la valeur partielle : Valeur partielle = (Pourcentage / 100) x Valeur totale
Astuce
Pense au symbole % comme à une division par 100. Pour calculer 20% d'un nombre, tu peux simplement le multiplier par 0,20 (car 20/100 = 0,20) ou le diviser par 5 (car 20% c'est un cinquième).
2. Les échelles : le monde en miniature
Une échelle permet de représenter un très grand objet (comme une maison) ou une très grande distance (comme entre deux villes) sur une feuille de papier. C'est le rapport entre une longueur sur le dessin (la carte ou le plan) et la longueur réelle correspondante. Une échelle s'écrit sous la forme 1 / 250 000 ou 1 : 250 000. Cela signifie que 1 cm sur la carte représente 250 000 cm dans la réalité.
Exemple
Sur un plan à l'échelle 1/200, la longueur de ta chambre mesure 6 cm sur le papier. Dans la réalité, elle mesure : 6 cm x 200 = 1 200 cm, soit 12 mètres. Inversement, si ta rue mesure 150 m en réalité (soit 15 000 cm), sur un plan à l'échelle 1/5 000, elle mesurera : 15 000 cm / 5 000 = 3 cm.
Formule
Distance réelle = Distance sur le plan x Dénominateur de l'échelle Distance sur le plan = Distance réelle / Dénominateur de l'échelle (Attention à toujours utiliser les mêmes unités !)
Astuce
Plus le dénominateur de l'échelle est grand (1/1 000 000), plus la carte est 'zoomed out' et montre un grand territoire de façon peu détaillée. Plus le dénominateur est petit (1/100), plus le plan est 'zoomed in' et détaillé.
3. La vitesse moyenne : à quelle vitesse vas-tu ?
La vitesse moyenne, c'est la distance parcourue en moyenne pendant une unité de temps (généralement une heure ou une seconde). Elle te permet de comparer la rapidité de déplacement. Si tu connais la distance parcourue et le temps mis pour la parcourir, tu peux facilement calculer cette vitesse moyenne. C'est essentiel pour estimer la durée d'un trajet.
Exemple
Tu fais du vélo et tu parcours 15 kilomètres en 45 minutes. Pour avoir ta vitesse en km/h (kilomètres par heure), il faut d'abord convertir le temps en heures : 45 min = 0,75 h. Ensuite, Vitesse = Distance / Temps = 15 km / 0,75 h = 20 km/h. Ta vitesse moyenne est donc de 20 km/h.
Formule
Vitesse (V) = Distance (D) / Temps (T) Distance (D) = Vitesse (V) x Temps (T) Temps (T) = Distance (D) / Vitesse (V) C'est la fameuse formule 'V = D/T' !
Astuce
Pour ne pas te tromper dans les unités, pense à l'unité de la vitesse : km/h. Cela signifie que la distance (D) doit être en kilomètres (km) et le temps (T) en heures (h). Si le temps est en minutes, convertis-le d'abord en heures.
4. Le tableau de proportionnalité : le chef d'orchestre
Toutes les situations qu'on vient de voir (pourcentages, échelles, vitesses) sont des applications de la proportionnalité. Deux grandeurs sont proportionnelles si, quand on multiplie l'une par un nombre, l'autre est aussi multipliée par ce même nombre. On peut organiser les données dans un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel il faut multiplier les nombres de la première ligne pour obtenir ceux de la seconde.
Exemple
Au marché, les pommes sont vendues 2€ le kilo. Le prix est proportionnel à la masse achetée. Masse (kg) : 1 | 2 | 3 | 5 Prix (€) : 2 | 4 | 6 | 10 Ici, le coefficient de proportionnalité pour passer de la masse au prix est 2. On peut le trouver en faisant 2/1, 4/2, 6/3... Cela donne toujours 2.
Formule
Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. Pour les nombres a, b, c, d : si a/b = c/d, alors a x d = b x c.
Astuce
Pour vérifier si un tableau est proportionnel, tu peux vérifier que tous les quotients de la valeur du bas par celle du haut (ou l'inverse) sont identiques. C'est le fameux 'coefficient de proportionnalité'.
Notions clés à retenir
Pourcentage
Une proportion exprimée en centièmes. Le symbole est %.
Échelle
Rapport entre une mesure sur une représentation (carte, plan) et la mesure réelle correspondante.
Vitesse moyenne
Distance parcourue par unité de temps. Elle se calcule par V = D/T.
Coefficient de proportionnalité
Nombre par lequel il faut multiplier les valeurs d'une grandeur pour obtenir les valeurs proportionnelles de l'autre grandeur.
Erreurs à éviter
- ✗Confondre 'pourcentage de' et 'augmentation de ...%'. Une augmentation de 20% sur 50€, ce n'est pas 20€, mais 20% de 50€ = 10€. Le nouveau prix est 60€.
- ✗Oublier de convertir les unités dans les calculs d'échelle ou de vitesse. Par exemple, mélanger des cm et des m sans conversion, ou des minutes et des heures.
- ✗Utiliser l'opération inverse dans la formule de la vitesse. Pour trouver le temps, c'est T = D/V, et non T = V/D. Pense à isoler l'inconnue dans la formule V = D/T.
Types d'exercices
Calcul de pourcentage
Calculer un pourcentage d'une quantité (ex: 15% de 80€) ou trouver le pourcentage que représente une valeur (ex: Quel pourcentage de 200 personnes représentent 30 personnes ?).
Problème d'échelle
Calculer une distance réelle à partir d'une mesure sur une carte et de son échelle, ou inversement.
Calcul de vitesse, distance ou temps
Utiliser la formule V = D/T pour trouver l'une des trois grandeurs quand on connaît les deux autres.
Compléter un tableau de proportionnalité
Trouver les valeurs manquantes dans un tableau en utilisant le coefficient de proportionnalité ou le produit en croix.
Pour aller plus loin
- Les intérêts bancaires (simples et composés) qui utilisent les pourcentages sur plusieurs années.
- Les conversions d'unités de vitesse (m/s en km/h et inversement).
- Les graphiques représentant des situations de proportionnalité (droites passant par l'origine).
