Parallélogrammes
Quand les quadrilatères se mettent en parallèles !
Salut ! Aujourd'hui, on va explorer une famille de quadrilatères très particulière : les parallélogrammes. Tu vas voir qu'ils sont partout autour de nous, des losanges aux rectangles. Ce chapitre va te donner des outils super puissants pour reconnaître et démontrer des propriétés géométriques. Prêt à devenir un expert des quadrilatères ? C'est parti !
Objectifs du chapitre
- Définir et reconnaître un parallélogramme
- Connaître et utiliser les propriétés des côtés et des angles
- Connaître et utiliser la propriété des diagonales
- Savoir démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Le cours
1. Qu'est-ce qu'un parallélogramme ?
Un parallélogramme est un quadrilatère, c'est-à-dire une figure à quatre côtés, qui possède une propriété essentielle : ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. C'est de là que vient son nom ! Cette définition est la base de tout. Si tu sais que deux paires de côtés sont parallèles, alors tu es sûr d'avoir affaire à un parallélogramme. C'est sa carte d'identité géométrique.
Exemple
Imagine un rectangle (comme une feuille A4) ou un losange (comme un cerf-volant). Ce sont des parallélogrammes particuliers ! Même un simple quadrilatère dont les côtés forment deux paires de lignes de train qui ne se croisent jamais est un parallélogramme.
Formule
Si ABCD est un parallélogramme, alors (AB) // (CD) et (AD) // (BC).
Astuce
Pense au mot 'parallélogramme' : 'parallélo-' pour les côtés parallèles et '-gramme' pour le dessin, la figure. C'est une figure avec des parallèles !
2. Les propriétés des côtés et des angles
Le fait d'avoir des côtés opposés parallèles entraîne automatiquement d'autres propriétés très utiles. D'abord, dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Ils sont non seulement parallèles, mais aussi égaux ! Ensuite, les angles opposés sont aussi de même mesure. Enfin, deux angles qui se suivent (on dit 'consécutifs') sont supplémentaires, ce qui veut dire que la somme de leurs mesures fait 180°.
Exemple
Prends un parallélogramme ABCD. Si AB = 5 cm, alors le côté opposé CD mesure aussi 5 cm. Si l'angle en A mesure 60°, alors l'angle opposé en C mesure aussi 60°. Et l'angle en B, juste à côté de A, mesurera 120° (car 60° + 120° = 180°).
Formule
Dans un parallélogramme ABCD : AB = CD et AD = BC. De plus, ^A = ^C et ^B = ^D. Et ^A + ^B = 180°.
Astuce
Pour les côtés : 'Opposés et parallèles = Opposés et égaux'. Pour les angles : 'Les opposés sont jumeaux, les consécutifs font 180'. Dessine un parallélogramme et code-le avec des petits traits pour les côtés égaux et des arcs pour les angles égaux, c'est visuel et ça aide énormément.
3. La propriété des diagonales
Les diagonales sont les segments qui relient deux sommets non consécutifs d'un quadrilatère. Dans un parallélogramme, elles ont une propriété remarquable : elles se coupent en leur milieu. Cela signifie que le point d'intersection des deux diagonales est exactement au milieu de chacune d'elles. C'est un point de symétrie centrale pour la figure. Cette propriété est très importante pour les démonstrations et les constructions.
Exemple
Dans un parallélogramme ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en un point O. Alors O est le milieu de [AC] (donc AO = OC) et aussi le milieu de [BD] (donc BO = OD). Si AC mesure 10 cm, alors AO = OC = 5 cm.
Formule
Si ABCD est un parallélogramme de centre O, alors O est le milieu de [AC] et de [BD]. On note aussi : vecteur AO = vecteur OC.
Astuce
Visualise les diagonales comme les deux barres d'un X. Dans un parallélogramme, elles se coupent exactement au centre de ce X, coupant chaque barre en deux morceaux égaux. Tu peux penser à une balançoire à bascule parfaitement équilibrée : le point d'appui (le centre) est exactement au milieu.
4. Comment démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme ?
Tu ne peux pas toujours mesurer le parallélisme avec ta règle ! Il faut donc savoir le prouver par le calcul ou la logique. Il existe plusieurs méthodes, qui sont comme des recettes. La plus directe est de montrer que les côtés opposés sont parallèles (c'est la définition). Mais tu peux aussi montrer que les côtés opposés sont de même longueur, ou que les diagonales se coupent en leur milieu, ou encore que deux côtés sont à la fois parallèles et de même longueur. Choisis la méthode la plus simple avec les informations dont tu disposes.
Exemple
On te donne un quadrilatère EFGH où tu sais que EF = GH et EH = FG. Tu peux en conclure que c'est un parallélogramme (côtés opposés égaux). Autre situation : tu sais que les diagonales [EG] et [FH] ont le même milieu. C'est aussi suffisant pour affirmer que EFGH est un parallélogramme.
Formule
Un quadrilatère est un parallélogramme si : 1) Ses côtés opposés sont parallèles. OU 2) Ses côtés opposés sont de même longueur. OU 3) Ses diagonales se coupent en leur milieu. OU 4) Deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Astuce
Fais une fiche récapitulative avec les 4 méthodes. Pour t'aider à choisir, pose-toi la question : 'Qu'est-ce que je connais déjà sur cette figure ?' La longueur des côtés ? Le milieu des diagonales ? Cela te guidera vers la bonne méthode de démonstration.
Notions clés à retenir
Parallélogramme
Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Côtés opposés
Dans un quadrilatère, deux côtés qui ne se touchent pas (qui ne sont pas consécutifs).
Diagonale
Segment qui relie deux sommets non consécutifs d'un polygone.
Milieu d'un segment
Point situé exactement à égale distance des deux extrémités du segment.
Erreurs à éviter
- ✗Dire 'les côtés sont parallèles' sans préciser 'opposés'. Dans un trapèze, il y a aussi deux côtés parallèles, mais ce n'est pas un parallélogramme ! Il faut bien dire 'les côtés opposés sont parallèles'.
- ✗Confondre les propriétés. Par exemple, croire que si les diagonales sont de même longueur, c'est un parallélogramme. C'est faux ! C'est vrai pour le rectangle (qui est un cas particulier), mais pas pour tous les parallélogrammes (un losange n'a pas ses diagonales de même longueur).
- ✗Oublier que les propriétés vont par paires. Quand on dit 'les côtés opposés sont égaux', cela concerne les DEUX paires (AB=CD ET AD=BC), pas une seule. Il faut vérifier les deux.
Types d'exercices
Reconnaissance et codage
Sur une figure avec plusieurs quadrilatères, identifier les parallélogrammes et coder les côtés égaux, les angles égaux et le milieu des diagonales.
Calcul de longueurs et d'angles
Dans un parallélogramme ABCD, on donne certaines mesures (ex: AB=7cm, angle A=50°). Calculer les longueurs des autres côtés et les mesures des autres angles en utilisant les propriétés.
Démonstration 'côtés opposés égaux'
On donne un quadrilatère avec des codages montrant que les côtés opposés sont égaux. Démontrer par un raisonnement en deux phrases que c'est un parallélogramme.
Problème de construction
Construire un parallélogramme en ne connaissant que certaines données (ex: la longueur de deux côtés et un angle, ou les deux diagonales et leur angle).
Pour aller plus loin
- Les parallélogrammes particuliers : le rectangle (parallélogramme avec un angle droit), le losange (parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur) et le carré (les deux à la fois !).
- La translation : une transformation géométrique qui 'glisse' une figure. L'image d'un segment par une translation est un segment parallèle et de même longueur. Les parallélogrammes sont les figures clés pour comprendre les translations !
- Les vecteurs : un outil puissant en mathématiques pour modéliser les déplacements. Dans un parallélogramme ABCD, on a par exemple l'égalité vectorielle : vecteur AB = vecteur DC.
