Calcul littéral
L'art de jongler avec les lettres et les nombres
Salut ! Jusqu'à présent, tu as surtout fait des calculs avec des nombres. Mais imagine si on pouvait remplacer un nombre par une lettre, comme un code secret. C'est exactement ce qu'est le calcul littéral ! On utilise des lettres (souvent x, y, a, b...) pour représenter des nombres inconnus ou qui peuvent changer. Cela te permet de créer des formules universelles, comme celle du périmètre d'un rectangle, et de simplifier des expressions pour les rendre plus faciles à utiliser. C'est un super outil pour résoudre des problèmes !
Objectifs du chapitre
- Comprendre ce qu'est une expression littérale
- Savoir calculer la valeur d'une expression littérale
- Apprendre à réduire une expression littérale (additionner les termes semblables)
- Savoir développer une expression simple avec la distributivité
Le cours
1. Découverte des expressions littérales
Une expression littérale est une expression mathématique qui contient à la fois des nombres et des lettres. Ces lettres, qu'on appelle des variables ou des inconnues, représentent des nombres. On les utilise quand on ne connaît pas encore la valeur exacte, ou quand cette valeur peut varier. Par exemple, si tu veux calculer le prix total de plusieurs stylos identiques, tu peux utiliser une lettre pour le prix d'un stylo. L'expression littérale te donne alors une formule générale que tu peux utiliser pour n'importe quel prix.
Exemple
Tu achètes 3 stylos. Si on appelle p le prix d'un stylo (en euros), le prix total est 3 × p. On écrit cette expression : 3p. Si un stylo coûte 1,50 € (p = 1,5), alors le prix total est 3 × 1,5 = 4,50 €.
Formule
Expression littérale = Nombres + Lettres (variables)
Astuce
Pense aux lettres comme à des boîtes vides qui peuvent contenir n'importe quel nombre. Ton travail est de manipuler ces boîtes selon les règles des maths.
2. Calculer la valeur d'une expression littérale
Pour calculer la valeur numérique d'une expression littérale, il suffit de remplacer chaque lettre par la valeur numérique qui lui est attribuée. C'est comme résoudre une énigme ! Tu dois faire très attention à l'ordre des opérations (priorités : parenthèses, multiplication/division, addition/soustraction) et bien respecter le signe des nombres que tu remplaces. N'oublie pas le signe de multiplication quand tu remplaces une lettre par un nombre.
Exemple
Soit l'expression A = 5x + 3. On te dit que x = 2. Pour calculer A, on remplace x par 2 : A = 5 × 2 + 3. D'abord la multiplication : 5 × 2 = 10. Puis l'addition : 10 + 3 = 13. Donc A = 13.
Formule
Valeur de l'expression = Remplacer → Calculer
Astuce
Quand tu remplaces, réécris toute l'expression en mettant des parenthèses autour de la valeur qui remplace la lettre au début, pour éviter les erreurs de signe. Exemple : Pour x = -2 dans 5x, écris 5 × (-2).
3. Réduire une expression littérale (les termes semblables)
Réduire une expression, c'est la simplifier en l'écrivant avec le moins de termes possible. Pour cela, on ne peut additionner ou soustraire que les termes qui sont 'semblables'. Deux termes sont semblables s'ils ont exactement la même partie littérale (les mêmes lettres avec les mêmes exposants). Les nombres seuls, sans lettre, sont aussi des termes semblables entre eux. C'est comme ranger ta chambre : tu mets ensemble les livres, les vêtements, les jouets...
Exemple
L'expression : 2x + 5 + 3x - 2. Les termes en 'x' sont 2x et 3x. Les nombres seuls sont +5 et -2. On calcule : 2x + 3x = 5x. Et 5 - 2 = 3. L'expression réduite est donc 5x + 3.
Formule
Réduction : ax + bx = (a+b)x et c + d = (c+d) (si a, b, c, d sont des nombres)
Astuce
Surligne d'une même couleur tous les termes avec la même partie littérale (par exemple, tous les termes en 'x' en jaune, tous les nombres seuls en vert). Cela t'aide à bien les regrouper visuellement.
4. Développer avec la simple distributivité
Développer, c'est l'opération inverse de la réduction dans certains cas. Quand un nombre est multiplié par une somme (ou une différence) entre parenthèses, on peut 'distribuer' la multiplication sur chaque terme à l'intérieur des parenthèses. C'est une règle très importante qui te permettra plus tard de résoudre des équations. Imagine que tu dois donner 3 bonbons à chacun de tes deux amis : tu peux donner 3 bonbons au premier ET 3 bonbons au second, c'est la distribution.
Exemple
Développer 4 × (x + 5). On multiplie 4 par x, puis 4 par 5 : 4 × x + 4 × 5. Ce qui donne : 4x + 20. De même, pour 2 × (3a - 7) : (2 × 3a) + (2 × (-7)) = 6a - 14.
Formule
k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a - b) = k × a - k × b
Astuce
Pour te souvenir de la règle, chante dans ta tête : 'Le facteur (le nombre devant) rentre dans la maison (les parenthèses) et dit bonjour à tout le monde (chaque terme)'.
Notions clés à retenir
Expression littérale
Expression mathématique composée de nombres, de lettres (variables) et d'opérations.
Variable
Une lettre (comme x, a, n...) utilisée dans une expression littérale pour représenter un nombre inconnu ou qui peut varier.
Réduire / Simplifier
Écrire une expression littérale sous une forme plus courte en additionnant ou soustrayant les termes semblables.
Termes semblables
Termes qui ont exactement la même partie littérale (mêmes lettres avec mêmes exposants). On peut les additionner ou les soustraire.
Développer
Transformer un produit (multiplication) d'un nombre par une somme/différence en une somme/différence de produits, en utilisant la distributivité.
Erreurs à éviter
- ✗Additionner des termes qui ne sont pas semblables : 2x + 3 ne donne PAS 5x ! C'est comme ajouter des pommes et des poires, tu gardes 2x + 3.
- ✗Oublier le signe de multiplication quand on remplace une lettre par un nombre négatif. Pour x = -2 dans 5x, il faut écrire 5 × (-2) et non 5 - 2.
- ✗Se tromper dans la distributivité avec un signe moins. Dans 3(x - 4), on fait 3×x et 3×(-4) = -12, donc 3x - 12. Beaucoup oublient de multiplier le 4 par le signe moins.
Types d'exercices
Calcul de valeur
On te donne une expression (ex: 7y - 2) et la valeur de la variable (ex: y=3). Tu dois calculer le résultat numérique.
Réduction d'expression
On te donne une expression à plusieurs termes (ex: 4a + 2 + a - 5). Tu dois la réduire au maximum.
Développement simple
On te donne une expression avec un facteur devant des parenthèses (ex: 5(2x + 1)). Tu dois la développer.
Problème concret
Un petit problème de la vie courante (calcul de périmètre, de prix total...) qu'il faut traduire par une expression littérale, puis calculer ou simplifier.
Pour aller plus loin
- La double distributivité : développer des expressions de la forme (a+b)(c+d).
- Factoriser : c'est l'opération inverse du développement, mettre un facteur commun en évidence.
- Les équations : utiliser le calcul littéral pour poser et résoudre des équations du type 3x + 5 = 17.
