Proportionnalité
Quand les grandeurs évoluent ensemble !
As-tu déjà remarqué que si tu achètes deux fois plus de bonbons, tu paies deux fois plus cher ? C'est le principe de la proportionnalité ! Dans ce chapitre, nous allons apprendre à reconnaître et à utiliser cette relation très pratique dans la vie de tous les jours, que ce soit pour faire des courses, cuisiner ou lire une carte. Tu vas découvrir comment organiser les informations dans un tableau et faire des calculs simples pour résoudre plein de petits problèmes.
Objectifs du chapitre
- Reconnaître une situation de proportionnalité
- Compléter un tableau de proportionnalité en utilisant le coefficient
- Utiliser un tableau de proportionnalité pour résoudre un problème concret
- Vérifier qu'un tableau est bien un tableau de proportionnalité
Le cours
1. Qu'est-ce que la proportionnalité ?
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Cela signifie que si l'une est multipliée par 2, 3, 4..., l'autre est aussi multipliée par 2, 3, 4... On dit qu'elles 'évoluent dans les mêmes proportions'. C'est une relation très courante : le prix payé et le nombre d'articles identiques achetés, la distance parcourue et le temps (si la vitesse est constante), les ingrédients dans une recette de cuisine.
Exemple
Si 1 baguette coûte 1€, alors 2 baguettes coûtent 2€ (x2), 3 baguettes coûtent 3€ (x3). Le prix est proportionnel au nombre de baguettes.
Formule
Grandeur B = Grandeur A × Coefficient de proportionnalité
Astuce
Pense à la règle de trois : 'Si pour 1 c'est ça, alors pour 2 c'est le double, pour 3 c'est le triple...' C'est le signe de la proportionnalité !
2. Le tableau de proportionnalité, ton outil magique
Pour organiser les données d'une situation proportionnelle, on utilise un tableau à deux lignes (ou deux colonnes). La première ligne représente une grandeur (comme le nombre d'articles), la seconde représente l'autre grandeur (comme le prix total). L'astuce est que pour passer d'une colonne à l'autre, on multiplie (ou divise) toujours par le même nombre, appelé le coefficient de proportionnalité. C'est la 'recette secrète' du tableau.
Exemple
Pour des stylos à 2€ l'unité : Nombre | 1 | 2 | 3 | 5 Prix (€) | 2 | 4 | 6 | 10 Ici, pour trouver le prix, on multiplie toujours le nombre de stylos par 2. Le coefficient est 2.
Astuce
Dessine toujours ton tableau proprement, avec les unités. Cela t'évitera de mélanger les nombres. Le coefficient, c'est le 'multiplicateur' qui se cache entre les lignes.
3. Comment trouver le coefficient de proportionnalité ?
Le coefficient est la clé pour compléter tout le tableau. Pour le trouver, tu dois disposer d'au moins une colonne complète. Il suffit alors de diviser le nombre de la deuxième ligne par le nombre correspondant de la première ligne. Une fois que tu as ce coefficient, tu peux calculer n'importe quelle valeur manquante en multipliant.
Exemple
Dans le tableau : Nombre de livres | 3 | ? | 7 Prix total (€) | 12 | 20 | ? Étape 1 : Je calcule le coefficient avec la 1ère colonne complète : 12 ÷ 3 = 4. Donc 1 livre coûte 4€. Étape 2 : Pour la 2e colonne, je cherche le nombre de livres pour 20€ : 20 ÷ 4 = 5 livres. Étape 3 : Pour la 3e colonne, je cherche le prix de 7 livres : 7 × 4 = 28€.
Formule
Coefficient = Valeur de la 2ème ligne ÷ Valeur correspondante de la 1ère ligne
4. Vérifier qu'un tableau est proportionnel : la méthode du produit en croix
Parfois, on te donne un tableau complet et on te demande s'il représente une situation de proportionnalité. Une méthode infaillible est de vérifier que les produits en croix sont égaux. Cela revient à vérifier que le coefficient de proportionnalité est le même pour toutes les colonnes, mais d'une manière plus visuelle et rapide.
Exemple
On veut vérifier ce tableau : A | 2 | 5 B | 6 | 15 Je fais les produits en croix : 2 × 15 = 30 et 5 × 6 = 30. Les deux produits sont égaux (30=30), donc le tableau est proportionnel. Autre exemple : A | 3 | 4 B | 9 | 16 Produits en croix : 3 × 16 = 48 et 4 × 9 = 36. 48 ≠ 36, donc ce tableau N'EST PAS proportionnel.
Formule
Pour un tableau : a | b c | d Il est proportionnel si a × d = b × c
Astuce
Dessine mentalement une croix qui relie les nombres opposés (a avec d, b avec c). Si les 'produits des extrémités' sont égaux, c'est gagné !
Notions clés à retenir
Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs liées de telle sorte que si l'une est multipliée par un nombre, l'autre l'est aussi par le même nombre.
Coefficient de proportionnalité
Le nombre par lequel il faut multiplier les valeurs de la première grandeur pour obtenir celles de la seconde. C'est le multiplicateur constant.
Tableau de proportionnalité
Tableau à deux lignes (ou colonnes) qui organise les valeurs de deux grandeurs proportionnelles.
Produit en croix
Méthode de calcul pour vérifier la proportionnalité ou pour trouver une valeur manquante dans un tableau en utilisant l'égalité des produits a × d et b × c.
Erreurs à éviter
- ✗Additionner au lieu de multiplier : Par exemple, dire que si 3 stylos coûtent 6€, alors 4 stylos coûtent 7€ (6+1). C'est FAUX ! Il faut trouver le prix d'un stylo (6÷3=2€) puis multiplier : 4×2=8€.
- ✗Oublier de calculer le coefficient : Se précipiter pour deviner une valeur sans d'abord calculer le multiplicateur commun, ce qui conduit à des erreurs.
- ✗Mélanger les lignes du tableau : Utiliser le nombre d'articles pour diviser le prix d'un seul article, ou inverser le coefficient. Il faut bien identifier quelle ligne est 'l'entrée' et quelle ligne est le 'résultat'.
Types d'exercices
Compléter un tableau
On te donne un tableau avec des cases vides et quelques valeurs. Tu dois utiliser le coefficient de proportionnalité pour le compléter entièrement.
Reconnaître une situation
On te décrit une situation de la vie courante (recette, achat, déplacement) et tu dois dire si les grandeurs sont proportionnelles ou non, et justifier.
Résolution de problème
Un petit problème à énoncé (ex: 'Pour 5 kg de pommes, je paie 10€. Combien coûtent 8 kg ?') que tu dois résoudre en utilisant un tableau ou le coefficient.
Vérification par produit en croix
On te donne un tableau complet et tu dois dire, en calculant les produits en croix, s'il représente une situation de proportionnalité.
Pour aller plus loin
- La proportionnalité dans les pourcentages (un pourcentage est un coefficient de proportionnalité !)
- Les échelles sur les cartes et les maquettes, qui sont des applications directes de la proportionnalité.
- Les graphiques représentant des situations proportionnelles (ils forment une droite qui passe par l'origine).
