Translations et rotations
Déplacer et tourner les figures comme un pro !
Salut ! Aujourd'hui, on va découvrir deux transformations magiques du plan : les translations et les rotations. Imagine que tu veux déplacer un meuble dans ta chambre sans le déformer, ou faire tourner une roue de vélo. Ce sont exactement les idées que l'on va étudier. Ces transformations conservent les figures : leur forme et leur taille ne changent pas, seule leur position ou leur orientation évolue. C'est un outil puissant en géométrie et dans plein de situations de la vie courante !
Objectifs du chapitre
- Comprendre et définir une translation par un vecteur
- Comprendre et définir une rotation par un centre et un angle
- Savoir construire l'image d'une figure par une translation ou une rotation
- Reconnaître et utiliser les propriétés de conservation de ces transformations
Le cours
1. La translation : un glissement rectiligne
Une translation, c'est comme un glissement de toute une figure dans une direction, un sens et sur une distance donnés. On la définit par un vecteur. Ce vecteur est une flèche qui indique trois informations essentielles : sa direction (la droite sur laquelle on se déplace), son sens (vers où on va sur cette droite) et sa longueur (la distance de déplacement). Tous les points de la figure se déplacent exactement de la même manière, suivant ce vecteur guide. La figure obtenue, appelée image, est superposable à la figure de départ.
Exemple
Imagine que tu déplaces ton stylo sur ta table de 10 cm vers la droite. Chaque point du stylo a bougé de 10 cm vers la droite. Si ton stylo était un triangle, son image par cette translation serait un triangle identique, placé 10 cm plus loin.
Formule
Si un point A a pour image A' par la translation de vecteur u, alors le vecteur AA' est égal au vecteur u. On note : A' est l'image de A par la translation de vecteur u.
Astuce
Pense au mot "TRANSLATION" comme "TRANSporter en ligne droite". Pour tracer l'image d'un point, tu pars du point, tu suis la direction et le sens du vecteur, et tu reportes sa longueur avec ton compas ou ton double-décimètre.
2. La rotation : un tour de manège géométrique
Une rotation, c'est faire tourner une figure autour d'un point fixe, appelé le centre de rotation. Cette transformation est définie par son centre (le point autour duquel on tourne) et un angle (de combien de degrés on tourne). L'angle est orienté : il a un sens, généralement le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens positif). Comme pour la translation, la figure image est superposable à la figure initiale.
Exemple
Quand tu tournes la roue de ta trottinette, chaque rayon effectue une rotation autour du moyeu (le centre). Les aiguilles d'une horloge effectuent une rotation autour du centre du cadran, mais dans le sens des aiguilles d'une montre (sens négatif).
Formule
Si un point A a pour image A' par la rotation de centre O et d'angle α, alors OA = OA' et l'angle (OA, OA') mesure α. On note : A' est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle α.
Astuce
Pour construire l'image d'un point, pense au compas et au rapporteur. 1) Trace le segment [OA]. 2) Avec le rapporteur, place l'angle α à partir de O. 3) Avec le compas, reporte la longueur OA sur le nouveau côté de l'angle. Le point où tu arrives est A' !
3. Propriétés communes : des transformations "gentilles"
Les translations et les rotations sont des isométries. Cela signifie qu'elles conservent les distances, les angles, les aires et le parallélisme. Concrètement, si deux segments sont de même longueur dans la figure de départ, ils le resteront dans l'image. Si deux droites sont parallèles au départ, leurs images seront aussi parallèles. C'est pour cela que la figure image est toujours superposable à la figure initiale : rien n'est déformé.
Exemple
Si tu translates ou tournes un triangle rectangle, tu obtiendras un autre triangle rectangle, avec les mêmes dimensions. Le milieu d'un segment aura pour image le milieu du segment image. C'est très utile pour démontrer des propriétés en géométrie !
Astuce
Souviens-toi du mot ISO-métrie : ISO veut dire "égal" en grec. Ces transformations conservent toutes les mesures importantes.
4. Comment reconnaître une translation ou une rotation ?
Face à deux figures identiques placées différemment dans le plan, il faut savoir dire par quelle transformation on passe de l'une à l'autre. Pour une translation, tu dois pouvoir trouver un vecteur qui emmène n'importe quel point de la figure de départ sur son point image. Tous les segments reliant un point à son image doivent être parallèles, de même sens et de même longueur. Pour une rotation, tu dois trouver un point centre tel que les distances entre ce centre et les points de la figure soient conservées, et que les angles formés soient tous égaux.
Exemple
Sur un damier, si tu déplaces un pion d'une case vers la droite, c'est une translation. Si tu fais pivoter une carte à jouer posée sur la table autour d'un de ses coins, c'est une rotation dont le centre est ce coin.
Astuce
Pour trouver le centre d'une rotation, cherche le point qui est à égale distance d'un point de départ et de son image. Souvent, c'est l'intersection des médiatrices des segments [AA'], [BB']... Pour une translation, trace le vecteur qui va d'un point à son image, et vérifie qu'il fonctionne pour les autres points.
Notions clés à retenir
Translation
Transformation qui à tout point M associe le point M' tel que le vecteur MM' est égal à un vecteur donné, appelé vecteur de translation. C'est un glissement.
Vecteur
Objet mathématique représenté par une flèche, caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur (norme). Il définit une translation.
Rotation
Transformation qui fait tourner les points autour d'un point fixe (le centre) d'un angle donné.
Isométrie
Transformation qui conserve les distances, et par conséquent les angles, les aires et le parallélisme. Les translations et rotations sont des isométries.
Erreurs à éviter
- ✗Confondre la direction (la droite) et le sens (vers où sur la droite) d'un vecteur. Par exemple, un vecteur vers la droite et un vecteur vers la gauche ont la même direction (horizontale) mais des sens opposés.
- ✗Oublier le sens de l'angle dans une rotation. En mathématiques, sauf indication contraire, on utilise le sens positif (inverse des aiguilles d'une montre). Tourner de 90° dans l'autre sens n'est pas la même transformation !
- ✗Pour construire l'image d'un point par rotation, mesurer l'angle au bon endroit. L'angle α est l'angle formé au centre O entre le segment [OA] et le segment [OA']. Il ne faut pas le mesurer ailleurs.
Types d'exercices
Construction d'image
On te donne une figure (triangle, quadrilatère) et les éléments d'une transformation (vecteur ou centre/angle). Tu dois construire soigneusement au compas, à la règle et au rapporteur l'image de cette figure.
Reconnaissance de transformation
On te donne deux figures identiques placées différemment. Tu dois déterminer si on peut passer de l'une à l'autre par une translation (et donner le vecteur) ou par une rotation (et donner le centre et l'angle).
Utilisation des propriétés
On te dit qu'un point B est l'image de A par une rotation de centre O. On te donne certaines mesures (longueurs, angles). Tu dois en déduire d'autres mesures en utilisant les propriétés de conservation des rotations.
Problème concret
Un problème de la vie réelle modélisé par une translation ou une rotation (déplacement d'un robot, rotation d'une pièce mécanique, symétrie dans un motif...).
Pour aller plus loin
- La symétrie axiale (réflexion), une autre isométrie très importante.
- La composition de transformations : enchaîner une rotation puis une translation, par exemple.
- Les translations et rotations dans un repère : comment calculer les coordonnées des points images avec des formules.
