Théorème de Pythagore
Le secret des triangles rectangles
Imagine que tu veuilles savoir si un angle est bien droit pour monter une étagère, ou calculer la longueur d'une échelle contre un mur. Le théorème de Pythagore est l'outil magique pour ça ! C'est un des théorèmes les plus célèbres et les plus utiles en mathématiques. Dans ce chapitre, tu vas découvrir son histoire, comprendre pourquoi il fonctionne et apprendre à l'utiliser pour résoudre plein de problèmes concrets.
Objectifs du chapitre
- Comprendre ce qu'est un triangle rectangle et identifier son hypoténuse
- Connaître et énoncer correctement le théorème de Pythagore
- Savoir calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres
- Savoir démontrer qu'un triangle est rectangle ou non en utilisant la réciproque du théorème
Le cours
1. Le triangle rectangle et son hypoténuse
Pour utiliser Pythagore, il faut d'abord bien connaître le triangle rectangle. C'est un triangle qui possède un angle droit (90°). Le côté opposé à cet angle droit est très spécial : on l'appelle l'hypoténuse. C'est toujours le côté le plus long du triangle rectangle. Les deux autres côtés, qui forment l'angle droit, sont appelés les côtés de l'angle droit ou les cathètes. C'est une distinction essentielle car dans la formule de Pythagore, l'hypoténuse joue un rôle particulier.
Exemple
Prends une équerre de ton trousseau. C'est un triangle rectangle. L'angle droit est dans le coin. Le côté le plus long, celui qui est en face de l'angle droit, c'est l'hypoténuse. Les deux petits côtés qui forment l'angle droit sont les côtés de l'angle droit.
Formule
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse. C'est le côté le plus long.
Astuce
Pour repérer l'hypoténuse, cherche le côté qui ne touche pas l'angle droit. Ou souviens-toi que c'est toujours le côté le plus long. Un petit moyen mnémotechnique : 'Hypo' comme 'hypodermique' (une aiguille longue), donc l'hypoténuse est le côté long.
2. L'énoncé du théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore établit une relation très précise entre les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle. Il dit que, dans un tel triangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. En d'autres termes, si tu calcules l'aire d'un carré construit sur l'hypoténuse, elle sera exactement égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux côtés de l'angle droit. C'est une propriété géométrique fascinante et toujours vraie.
Exemple
Si un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit mesurant 3 cm et 4 cm, et une hypoténuse de 5 cm, on a bien : 5² = 3² + 4², c'est-à-dire 25 = 9 + 16. C'est le fameux triplet (3, 4, 5).
Formule
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors : BC² = AB² + AC². (où [BC] est l'hypoténuse).
Astuce
Pour te souvenir de la formule, pense à cette phrase : 'Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.' Tu peux aussi retenir le schéma des 3 carrés : le grand (sur l'hypoténuse) est aussi grand que les deux petits réunis.
3. Calculer la longueur d'un côté manquant
L'utilité principale du théorème est de calculer une longueur inconnue dans un triangle rectangle dont on connaît déjà deux longueurs. Il y a deux cas de figure. Le premier cas : on cherche la longueur de l'hypoténuse. On additionne simplement les carrés des deux autres côtés, puis on prend la racine carrée du résultat. Le deuxième cas : on cherche la longueur d'un côté de l'angle droit. Dans ce cas, on soustrait le carré du côté connu de l'angle droit au carré de l'hypoténuse, puis on prend la racine carrée. La calculatrice est ton amie pour les racines carrées !
Exemple
Cas 1 : Un triangle rectangle a des côtés de 6 cm et 8 cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ? On calcule : 6² + 8² = 36 + 64 = 100. L'hypoténuse mesure donc √100 = 10 cm. Cas 2 : Un triangle rectangle a une hypoténuse de 13 cm et un côté de 5 cm. Quelle est la longueur de l'autre côté ? On calcule : 13² - 5² = 169 - 25 = 144. L'autre côté mesure donc √144 = 12 cm.
Formule
Pour trouver l'hypoténuse (c) : c = √(a² + b²). Pour trouver un côté de l'angle droit (a) : a = √(c² - b²).
Astuce
Organise toujours ton calcul en écrivant clairement la formule BC² = AB² + AC², puis remplace par les valeurs connues. Cela t'évitera de confondre l'addition et la soustraction. N'oublie pas l'étape finale de la racine carrée !
4. La réciproque et la contraposée : vérifier l'angle droit
Le théorème de Pythagore fonctionne aussi à l'envers ! C'est ce qu'on appelle la réciproque. Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est son hypoténuse. C'est un outil formidable pour vérifier si un angle est droit sans utiliser d'équerre, juste avec un mètre ! La contraposée, elle, dit que si l'égalité n'est pas vérifiée, alors le triangle n'est pas rectangle. On utilise souvent cette propriété en construction ou en géométrie.
Exemple
Un triangle a des côtés de 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle ? Le plus grand côté est 13 cm. On vérifie : 13² = 169 et 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Les résultats sont égaux, donc le triangle EST rectangle et son hypoténuse mesure 13 cm. Un autre triangle a des côtés 4 cm, 6 cm, 7 cm. 7²=49 et 4²+6²=16+36=52. 49 ≠ 52, donc ce triangle N'EST PAS rectangle.
Formule
Réciproque : Si dans un triangle ABC, on a BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A. Contraposée : Si BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle n'est pas rectangle en A.
Astuce
Pour appliquer la réciproque, commence TOUJOURS par identifier le plus grand côté (c'est le candidat hypoténuse). Calcule son carré d'un côté, et la somme des carrés des deux autres de l'autre. Compare !
Notions clés à retenir
Triangle rectangle
Triangle possédant un angle droit (90°).
Hypoténuse
Dans un triangle rectangle, c'est le côté opposé à l'angle droit. C'est toujours le côté le plus long.
Côtés de l'angle droit (ou cathètes)
Les deux côtés qui forment l'angle droit dans un triangle rectangle.
Carré d'un nombre
Résultat de la multiplication d'un nombre par lui-même. Exemple : 5² = 5 x 5 = 25.
Racine carrée
Opération inverse du carré. C'est le nombre qui, multiplié par lui-même, donne le nombre de départ. Exemple : √25 = 5 car 5 x 5 = 25.
Réciproque du théorème de Pythagore
Propriété qui permet de démontrer qu'un triangle est rectangle si la relation entre les carrés de ses côtés est vérifiée.
Erreurs à éviter
- ✗Appliquer le théorème à un triangle qui n'est pas rectangle. Rappelle-toi : Pythagore ne fonctionne QUE pour les triangles rectangles !
- ✗Confondre l'hypoténuse avec un autre côté dans la formule. L'hypoténuse est toujours seule d'un côté du signe égal (BC² = ...).
- ✗Oublier de prendre la racine carrée à la fin du calcul. Après avoir trouvé BC² = 100, il faut conclure BC = √100 = 10, et non BC = 100.
- ✗Se tromper dans l'utilisation de la réciproque en ne prenant pas le plus grand côté comme candidat hypoténuse. Il faut d'abord trouver le côté le plus long !
- ✗Faire des erreurs de calcul mental sur les carrés (par exemple, 7² = 14 au lieu de 49). Sois vigilant et utilise ta calculatrice si besoin.
Types d'exercices
Calcul direct
On te donne un triangle rectangle et les longueurs de deux côtés. Tu dois calculer la longueur du troisième côté. Ex : Côtés 9 et 12, trouver l'hypoténuse.
Problème de géométrie
La figure est plus complexe (rectangle, losange, etc.) mais contient un triangle rectangle caché. Il faut le repérer pour appliquer Pythagore. Ex : Calculer la diagonale d'un rectangle.
Démontrer qu'un triangle est rectangle (Réciproque)
On te donne les trois longueurs d'un triangle. Tu dois utiliser la réciproque pour prouver qu'il est rectangle ou non. Ex : Triangle de côtés 8, 15, 17.
Problème concret (Mise en situation)
Un problème raconté qui modélise une situation réelle avec un triangle rectangle. Ex : Une échelle de 5m est posée contre un mur. Le pied est à 2m du mur. À quelle hauteur arrive-t-elle ?
Pour aller plus loin
- La trigonométrie (cosinus, sinus, tangente) qui utilise aussi le triangle rectangle pour relier angles et longueurs.
- Le théorème de Thalès, un autre pilier de la géométrie au collège, souvent utilisé en combinaison avec Pythagore.
- La géométrie dans l'espace : on peut utiliser Pythagore plusieurs fois pour calculer la longueur d'une grande diagonale dans un pavé droit (un parallélépipède rectangle).
