Puissances
La notation scientifique pour maîtriser les très grands et très petits nombres
As-tu déjà essayé d'écrire le nombre d'atomes dans une goutte d'eau ou la distance entre la Terre et le Soleil en kilomètres ? Ces nombres sont si grands qu'ils deviennent difficiles à lire et à manipuler. Heureusement, les mathématiques ont inventé un outil génial : les puissances. Dans ce chapitre, tu vas découvrir cette notation qui te permettra d'écrire et de calculer avec des nombres gigantesques ou minuscules de manière simple et efficace. Prêt à devenir un pro des exposants ?
Objectifs du chapitre
- Comprendre la notation puissance et savoir la lire
- Savoir calculer avec des puissances de 10
- Maîtriser les règles de calcul (produit, quotient, puissance de puissance)
- Utiliser les puissances pour écrire en notation scientifique
Le cours
1. Qu'est-ce qu'une puissance ?
Une puissance est une manière abrégée d'écrire une multiplication répétée d'un même nombre. Quand tu multiplies un nombre par lui-même plusieurs fois, au lieu d'écrire tous les facteurs, tu utilises un exposant. Le nombre que tu multiplies s'appelle la base. Le petit nombre écrit en haut à droite, qui indique combien de fois la base est multipliée par elle-même, s'appelle l'exposant. On dit "a puissance n" ou "a exposant n".
Exemple
5 × 5 × 5 s'écrit 5³. Ici, 5 est la base et 3 est l'exposant. Cela se lit "cinq au cube" ou "cinq puissance trois". De même, 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴ (deux puissance quatre).
Formule
aⁿ = a × a × a × ... × a (n fois) où a est la base et n l'exposant (n entier positif).
Astuce
Pense à l'exposant comme à un compteur : il te dit combien de fois la base est invitée à la fête de la multiplication ! Pour 10³, le 3 dit : "Multiplie 10 par lui-même 3 fois !"
2. Les puissances de 10, tes nouvelles meilleures amies
Les puissances de 10 sont les plus utilisées et les plus simples à comprendre. Elles sont à la base de la notation scientifique, que tu utiliseras en physique, en chimie et pour comprendre l'échelle de l'univers. Une puissance de 10 positive correspond à un 1 suivi d'autant de zéros que la valeur de l'exposant. C'est un nombre très grand. Une puissance de 10 négative correspond à un nombre décimal : 1 précédé de zéros, avec le 1 à la position indiquée par l'exposant. C'est un nombre très petit.
Exemple
10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 (un 1 suivi de 4 zéros). 10⁻³ = 1 / 10³ = 1 / 1000 = 0,001 (le 1 est à la troisième position après la virgule).
Formule
10ⁿ = 1 suivi de n zéros (si n > 0). 10⁻ⁿ = 0, suivi de (n-1) zéros, puis 1.
Astuce
Pour les puissances positives de 10, l'exposant est ton nombre de zéros. Pour les puissances négatives, l'exposant (en valeur absolue) te dit à quelle position après la virgule tu places le chiffre 1. 10⁻² ? Le 1 est à la 2ème place : 0,01 !
3. Les règles de calcul avec les puissances (même base)
Quand tu dois multiplier ou diviser des puissances qui ont la même base, inutile de tout développer ! Il existe des règles simples qui te font gagner un temps fou. Pour multiplier, tu gardes la base et tu additionnes les exposants. Pour diviser, tu gardes la base et tu soustrais les exposants. Et si tu as une puissance élevée à une autre puissance, tu multiplies les exposants. Ces règles sont valables pour n'importe quelle base, pas seulement 10.
Exemple
Produit : 7⁵ × 7³ = 7⁽⁵⁺³⁾ = 7⁸. Quotient : 4⁹ ÷ 4⁴ = 4⁽⁹⁻⁴⁾ = 4⁵. Puissance de puissance : (2³)⁴ = 2⁽³ ˣ ⁴⁾ = 2¹².
Formule
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (avec a ≠ 0) | (aᵐ)ⁿ = aᵐ ˣ ⁿ
Astuce
Retiens ce slogan : "Multiplication ? J'additionne les exposants ! Division ? Je les soustrais ! Puissance de puissance ? Je les multiplie !" Toujours avec la même base, bien sûr.
4. La notation scientifique
La notation scientifique est la manière standard d'écrire un nombre très grand ou très petit en utilisant une puissance de 10. Elle est indispensable pour communiquer clairement des mesures en sciences. Un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu'il est sous la forme a × 10ⁿ, où "a" est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (1 ≤ a < 10) et "n" est un entier relatif (positif, négatif ou nul). Cela permet de voir immédiatement l'ordre de grandeur du nombre.
Exemple
La vitesse de la lumière est d'environ 300 000 000 m/s. En notation scientifique : 3 × 10⁸ m/s. Le diamètre d'un atome d'hydrogène est d'environ 0,000 000 000 1 m. En notation scientifique : 1 × 10⁻¹⁰ m.
Formule
Nombre = a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
Astuce
Pour écrire un nombre en notation scientifique, déplace la virgule jusqu'à obtenir un nombre entre 1 et 10. Le nombre de pas que tu as fait devient l'exposant de 10. Si tu as déplacé la virgule vers la gauche (pour un grand nombre), l'exposant est positif. Si tu l'as déplacée vers la droite (pour un petit nombre), l'exposant est négatif.
Notions clés à retenir
Puissance
Notation abrégée d'une multiplication répétée : aⁿ = a × a × ... × a (n fois).
Base
Le nombre qui est multiplié par lui-même dans une puissance (le "a" dans aⁿ).
Exposant
Le petit nombre en haut à droite qui indique combien de fois la base est multipliée par elle-même (le "n" dans aⁿ).
Notation scientifique
Écriture d'un nombre sous la forme a × 10ⁿ, où 1 ≤ a < 10 et n est un entier relatif.
Erreurs à éviter
- ✗Confondre 5² et 5 × 2. 5² = 5 × 5 = 25, alors que 5 × 2 = 10. L'exposant indique une multiplication répétée, pas une simple multiplication !
- ✗Additionner les exposants quand on multiplie des puissances de bases différentes. La règle aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ne marche QUE si la base 'a' est la même. 2³ × 5² n'est PAS égal à 10⁵ ! Il faut calculer séparément : 8 × 25 = 200.
- ✗Oublier que a⁰ = 1 (pour a ≠ 0). C'est une convention importante : tout nombre (non nul) à la puissance 0 vaut 1. C'est cohérent avec la règle des quotients : a³ ÷ a³ = a⁽³⁻³⁾ = a⁰, et on sait que a³ ÷ a³ = 1.
Types d'exercices
Écriture développée et calcul
Écrire sous forme de puissance, ou développer une puissance pour la calculer. Ex : Écrire 12 × 12 × 12 × 12 sous forme de puissance. Calculer 4³.
Calcul avec les règles
Utiliser les règles (produit, quotient, puissance) pour simplifier des expressions. Ex : Simplifier 7⁴ × 7⁵. Calculer (3²)⁴.
Puissances de 10
Passer de l'écriture décimale à la puissance de 10 et inversement. Ex : Écrire 0,0001 sous forme de puissance de 10. Écrire 10⁶ sous forme décimale.
Notation scientifique
Mettre un nombre très grand ou très petit en notation scientifique, et lire une notation scientifique. Ex : Écrire 450 000 000 en notation scientifique. Donner l'écriture décimale de 6,2 × 10⁻³.
Pour aller plus loin
- Les racines carrées, qui sont liées aux puissances d'exposant 1/2 (tu verras cela plus tard !).
- La croissance exponentielle, un phénomène qui utilise les puissances et que l'on retrouve en biologie (bactéries) ou en finance.
- L'écriture des nombres dans d'autres bases (binaire en informatique, hexadécimale) qui utilise aussi le principe des puissances.
