Probabilités
Prédire l'imprévisible ?
As-tu déjà essayé de deviner si tu allais tirer un as dans un jeu de cartes, ou si tu allais faire pile ou face ? Les probabilités, c'est la branche des mathématiques qui te permet de mesurer les chances qu'un événement se produise. C'est un outil puissant utilisé dans les jeux, la météo, les sondages et même dans la recherche médicale. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à quantifier cette notion de "chance" de manière logique et précise.
Objectifs du chapitre
- Comprendre et définir les notions d'expérience aléatoire, d'issue et d'événement.
- Savoir calculer une probabilité simple dans une situation d'équiprobabilité.
- Exprimer une probabilité sous forme de fraction, de nombre décimal et de pourcentage.
- Reconnaître et interpréter les probabilités 0, 1 et 0,5.
Le cours
1. Expérience aléatoire, issues et événements
Une expérience aléatoire est une action dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude à l'avance. Par exemple, lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire. Chaque résultat possible s'appelle une issue (ou éventualité). Pour un dé, les issues sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Un événement est un ensemble d'issues qui répond à une condition. Par exemple, l'événement "obtenir un nombre pair" regroupe les issues 2, 4 et 6.
Exemple
Expérience : Tirer une boule d'un sac contenant une boule rouge (R), une bleue (B) et une verte (V). Les issues sont R, B, V. L'événement "tirer une boule primaire (rouge ou bleue)" regroupe les issues R et B.
Astuce
Pense à l'expérience comme à une question (ex: lancer un dé), les issues sont les réponses possibles (1,2,3,4,5,6), et un événement est un groupe de réponses qui partagent une caractéristique (ex: les réponses supérieures à 4).
2. La probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure sa "chance" de se réaliser. Plus ce nombre est proche de 1, plus l'événement est probable. Plus il est proche de 0, moins il est probable. On la note souvent P(A) pour "probabilité de l'événement A". Dans une situation d'équiprobabilité, c'est-à-dire quand toutes les issues ont exactement la même chance de se produire, on peut utiliser une formule simple.
Exemple
Dans un jeu de 32 cartes bien mélangé, chaque carte a la même chance d'être tirée. La probabilité de tirer l'as de cœur est donc de 1 chance sur 32.
Formule
En situation d'équiprobabilité : P(événement) = (Nombre d'issues favorables à l'événement) / (Nombre total d'issues possibles)
Astuce
Pour la formule, retiens "Favorables sur Total", comme une fraction. C'est le cœur du calcul des probabilités simples !
3. Écrire une probabilité : fractions, décimaux, pourcentages
Une probabilité peut s'exprimer de trois manières équivalentes, et il est important de savoir passer de l'une à l'autre. Sous forme de fraction, elle montre directement le rapport issues favorables / issues totales. Sous forme décimale, c'est souvent plus simple pour comparer. Sous forme de pourcentage, c'est très parlant car on l'utilise quotidiennement (ex: 70% de chance de pluie).
Exemple
La probabilité de faire "Pile" en lançant une pièce équilibrée est de 1/2 = 0,5 = 50%. La probabilité de tirer un valet dans un jeu de 32 cartes est de 4/32 = 1/8 = 0,125 = 12,5%.
Astuce
Pour convertir une fraction en pourcentage, tu peux d'abord la convertir en nombre décimal (en faisant la division), puis multiplier le résultat par 100. Ex: 3/4 = 0,75 -> 0,75 x 100 = 75%.
4. Les probabilités limites : 0, 0.5 et 1
Certaines probabilités ont une signification très forte. Une probabilité de 0 (ou 0%) correspond à un événement impossible : il ne peut absolument pas se produire. Une probabilité de 1 (ou 100%) correspond à un événement certain : il se produira forcément. Une probabilité de 0,5 (ou 50%) correspond à un événement qui a autant de chances de se produire que de ne pas se produire ; on dit qu'il est équiprobable à son contraire.
Exemple
Impossible : Obtenir un 7 en lançant un dé classique à six faces (P=0). Certain : Obtenir un nombre entre 1 et 6 en lançant un dé à six faces (P=1). Équiprobable : Faire "Face" avec une pièce équilibrée (P=0,5).
Astuce
Associe ces nombres à des images : 0 = l'événement est dans une prison dont il ne peut pas sortir. 1 = l'événement est déjà arrivé, c'est inévitable. 0,5 = l'événement hésite parfaitement entre oui et non, comme une pièce qui tourne.
Notions clés à retenir
Expérience aléatoire
Action dont on ne peut pas prédire le résultat avec certiance à l'avance (ex: lancer un dé).
Issue (ou Éventualité)
Résultat possible d'une expérience aléatoire (ex: pour un dé, les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Événement
Ensemble d'issues qui vérifient une condition donnée (ex: l'événement "nombre pair" pour un dé : {2, 4, 6}).
Probabilité
Nombre entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'un événement se réalise.
Équiprobabilité
Situation où toutes les issues d'une expérience ont exactement la même chance de se produire.
Erreurs à éviter
- ✗Confondre le nombre d'issues favorables et le nombre total d'issues. Par exemple, pour "obtenir au moins 5" avec un dé, les issues favorables sont 5 et 6 (donc 2), pas 5.
- ✗Oublier que la probabilité est toujours un nombre entre 0 et 1. Si tu trouves 1,5 ou -0,2, c'est qu'il y a une erreur de calcul.
- ✗Penser que si un événement a une faible probabilité (ex: 1%), il est impossible. Ce n'est pas le cas, il est juste très peu probable, mais peut quand même arriver.
Types d'exercices
Lancer de dé
Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de 3, un nombre premier, etc., sur un dé à 6 faces.
Tirage dans un sac
Un sac contient des boules de différentes couleurs. Calculer la probabilité de tirer une boule d'une couleur donnée.
Jeu de cartes
Calculer la probabilité de tirer une carte d'une certaine famille (cœur, pique...), une figure, un as, etc., dans un jeu de 32 ou 52 cartes.
Lancer de pièce
Analyser la probabilité d'obtenir Pile ou Face sur une ou plusieurs pièces (équilibrées ou non).
Pour aller plus loin
- Probabilités avec un dé pipé (non équilibré).
- Probabilités d'événements composés (ex: lancer deux dés et faire une somme de 7).
- Arbres de probabilités pour visualiser plusieurs expériences successives.
