Équations
L'art de trouver l'inconnue
Salut ! Tu as sûrement déjà entendu parler des équations. C'est un outil puissant qui te permet de résoudre des problèmes où une information est cachée, comme dans une énigme. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à maîtriser la résolution des équations du premier degré, étape par étape. C'est comme apprendre une nouvelle langue pour parler aux nombres !
Objectifs du chapitre
- Comprendre ce qu'est une équation et à quoi elle sert
- Savoir résoudre une équation simple du type x + a = b
- Maîtriser la résolution d'équations avec des termes en x des deux côtés
- Appliquer la résolution d'équations à des problèmes concrets de la vie quotidienne
Le cours
1. Qu'est-ce qu'une équation ?
Une équation, c'est une égalité mathématique qui contient une inconnue, c'est-à-dire un nombre que l'on ne connaît pas et que l'on cherche à trouver. On la représente souvent par une lettre, comme x. L'objectif est de trouver la valeur de cette inconnue qui rend l'égalité vraie. Pense à une balance en équilibre : ce qu'il y a à gauche du signe = doit peser exactement pareil que ce qu'il y a à droite. Résoudre l'équation, c'est trouver le poids manquant pour que tout soit équilibré.
Exemple
L'égalité 3 + x = 7 est une équation. L'inconnue est x. La solution est x = 4, car 3 + 4 = 7. L'égalité est alors vérifiée.
Formule
Équation du premier degré : ax + b = cx + d (où a, b, c, d sont des nombres connus et x est l'inconnue).
Astuce
Imagine le signe = comme le milieu d'une balance à l'équilibre. Tout ce que tu fais d'un côté, tu dois le faire de l'autre pour ne pas tout faire basculer !
2. Résoudre une équation simple : isoler l'inconnue
Pour résoudre, on utilise le principe de la balance. On effectue les mêmes opérations des deux côtés du signe égal pour garder l'équilibre et isoler progressivement l'inconnue x d'un seul côté. L'objectif est d'obtenir à la fin une écriture du type x = [nombre]. On commence par simplifier chaque côté si nécessaire, puis on 'déplace' les nombres pour qu'ils soient tous du côté opposé à x.
Exemple
Pour résoudre x + 5 = 12 : 1. On veut x tout seul à gauche. Le +5 le gêne. 2. On fait 'l'opération inverse' des deux côtés : on soustrait 5. (x + 5) - 5 = 12 - 5. 3. On calcule : x = 7. Vérification : 7 + 5 = 12. C'est bon !
Formule
Pour isoler x : Si x + a = b, alors x = b - a. Si x - a = b, alors x = b + a. Si a * x = b (avec a ≠ 0), alors x = b / a. Si x / a = b (avec a ≠ 0), alors x = b * a.
Astuce
Pour 'déplacer' un terme de l'autre côté du =, change son opération pour l'opération inverse : - Un + devient - en traversant le =. - Un - devient +. - Un × devient ÷. - Un ÷ devient ×.
3. Équations avec l'inconnue des deux côtés
Parfois, l'inconnue x apparaît des deux côtés de l'équation. Il faut d'abord regrouper tous les termes contenant x du même côté. Pour cela, on 'déplace' les termes en x comme on déplace les nombres. Ensuite, on regroupe les nombres constants de l'autre côté. Une fois que tous les x sont ensemble et tous les nombres sont de l'autre côté, on termine comme pour une équation simple.
Exemple
Résoudre 4x + 3 = 2x + 11. 1. On veut les x à gauche. Le terme 2x à droite gêne. On soustrait 2x des deux côtés : 4x - 2x + 3 = 2x - 2x + 11 → 2x + 3 = 11. 2. Maintenant, isolons le terme 2x. Le +3 gêne. On soustrait 3 : 2x + 3 - 3 = 11 - 3 → 2x = 8. 3. On isole x : x = 8 / 2 → x = 4. Vérification : 4*4 + 3 = 19 et 2*4 + 11 = 19. C'est bon !
Astuce
Pense à une équipe de foot : rassemble tous les joueurs 'x' (les inconnues) d'un côté du terrain (=), et tous les joueurs 'nombre' de l'autre côté. Ensuite, tu pourras savoir combien vaut chaque joueur x.
4. Mettre en équation un problème
La vraie force des équations, c'est de résoudre des problèmes de la vie réelle. La méthode est simple : d'abord, tu choisis ce que représente l'inconnue (souvent le nombre qu'on te demande de trouver). Ensuite, tu traduis l'énoncé du problème, phrase par phrase, en une expression mathématique. Cela te donne une équation. Enfin, tu résous cette équation pour trouver la réponse au problème.
Exemple
Problème : Léa achète 3 stylos identiques et une règle à 2€. Elle paie 11€ en tout. Quel est le prix d'un stylo ? 1. Choix de l'inconnue : Soit x le prix d'un stylo (en €). 2. Mise en équation : 3 stylos coûtent 3 * x. La règle coûte 2€. Le total est 11€. Donc : 3x + 2 = 11. 3. Résolution : 3x = 11 - 2 → 3x = 9 → x = 9 / 3 → x = 3. 4. Conclusion et vérification : Un stylo coûte 3€. Vérif : 3*3 + 2 = 11.
Astuce
Quand tu lis un problème, cherche les mots-clés : - 'total', 'somme' → souvent le signe =. - 'coûte', 'pèse', 'mesure' → décrit une valeur. - 'identique', 'même prix' → tu peux utiliser la même inconnue x.
Notions clés à retenir
Équation
Une égalité mathématique qui contient une inconnue (souvent notée x) dont on cherche la valeur.
Inconnue
Le nombre que l'on ne connaît pas dans une équation, représenté par une lettre.
Membre
Chacune des deux expressions situées de part et d'autre du signe égal (=).
Résoudre
Trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui vérifient l'équation (qui rendent l'égalité vraie).
Vérification
Étape essentielle où l'on remplace l'inconnue par la solution trouvée dans l'équation de départ pour s'assurer que l'égalité est correcte.
Erreurs à éviter
- ✗Oublier de faire la même opération des deux côtés du signe =. Exemple : écrire 'x + 3 = 5 donc x = 5 + 3' est FAUX. Il faut faire -3 des deux côtés : x = 5 - 3.
- ✗Se tromper dans les signes quand on 'déplace' un terme. Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé. Exemple : pour x - (-2) = 7, on a x + 2 = 7, et non x - 2 = 7.
- ✗Ne pas vérifier sa solution. C'est une étape rapide qui permet de repérer beaucoup d'erreurs de calcul et de confirmer que ta réponse est juste.
Types d'exercices
Résolution basique
Résoudre des équations du type x + a = b, a * x = b. Exemple : x - 7 = 3 ; 4x = 20.
Résolution en une étape de plus
Résoudre des équations du type a*x + b = c. Exemple : 2x + 5 = 17 ; 3x - 4 = 11.
Regroupement des x
Résoudre des équations où x est présent des deux côtés. Exemple : 5x + 1 = 3x + 9 ; 2x - 4 = x + 5.
Problème concret
Traduire un petit énoncé en équation puis la résoudre. Exemple : 'Si on triple un nombre et qu'on ajoute 10, on trouve 34. Quel est ce nombre ?'
Pour aller plus loin
- Les inéquations : comme les équations, mais avec des signes <, >, ≤, ≥ pour comparer des expressions.
- Les équations produits : résoudre des équations où un produit de facteurs est égal à zéro (vu en 3ème).
- Les systèmes de deux équations : résoudre deux équations à deux inconnues pour trouver les valeurs qui vérifient les deux à la fois (vu en 3ème).
