Cosinus
Le rapport qui te donne l'angle !
Aujourd'hui, on va découvrir un outil magique qui permet de relier les longueurs et les angles dans un triangle rectangle. Tu vas voir que le cosinus est très utile dans plein de situations concrètes, comme calculer la hauteur d'un arbre ou la pente d'un toit. On va apprendre à le définir, à l'utiliser avec la calculatrice et à résoudre des problèmes. Accroche-toi, c'est passionnant !
Objectifs du chapitre
- Définir le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle.
- Savoir calculer un cosinus à l'aide de la calculatrice.
- Utiliser le cosinus pour calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle.
- Utiliser le cosinus pour calculer la mesure d'un angle.
Le cours
1. Définition du cosinus
Dans un triangle rectangle, on se concentre sur un des deux angles aigus (qui ne sont pas l'angle droit). Pour cet angle, on appelle 'côté adjacent' le côté qui touche à la fois l'angle droit ET l'angle choisi. L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit, c'est le plus long côté. Le cosinus de l'angle est alors le rapport (la division) de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse. C'est un nombre sans unité, toujours compris entre 0 et 1 pour un angle aigu.
Exemple
Imagine un triangle rectangle ABC, rectangle en B, avec l'angle aigu A qui mesure 30°. Le côté adjacent à l'angle A est le côté [AB]. L'hypoténuse est le côté [AC]. Donc, cos(A) = AB / AC.
Formule
Dans un triangle rectangle : cos(angle) = (longueur du côté adjacent à l'angle) / (longueur de l'hypoténuse)
Astuce
Pour te souvenir de la formule, pense à la phrase : "CAH" (prononce "ka") qui signifie Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse. C'est le premier mot du fameux moyen mnémotechnique "SOH CAH TOA" que tu découvriras plus tard.
2. Utiliser la calculatrice
Ta calculatrice est ton alliée pour le cosinus ! Elle peut faire deux choses très importantes. Premièrement, si tu connais la mesure d'un angle (en degrés), elle peut te donner la valeur de son cosinus. Deuxièmement, si tu connais la valeur du cosinus d'un angle, elle peut te retrouver la mesure de cet angle. Il faut absolument vérifier que ta calculatrice est bien en mode "degrés" (DEG ou D affiché à l'écran), sinon les résultats seront faux.
Exemple
Pour trouver cos(60°) : tu tapes 60 puis la touche COS. Le résultat doit être 0,5. Pour trouver l'angle dont le cosinus vaut 0,8 : tu tapes 0,8, puis la touche 2nde ou SHIFT, puis la touche COS (qui active la fonction arccos ou cos⁻¹). La calculatrice affichera environ 36,9°.
Astuce
Avant de commencer, fais toujours le test cos(60°) = 0,5. Si tu n'obtiens pas 0,5, ta calculatrice n'est pas en degrés ! Cherche la touche MODE ou DRG pour la régler.
3. Calculer une longueur (côté adjacent ou hypoténuse)
C'est l'application directe de la formule. Si dans un triangle rectangle, tu connais la mesure d'un angle aigu et la longueur d'un des côtés (adjacent ou hypoténuse), tu peux calculer l'autre. Il suffit d'écrire la formule du cosinus avec les données, ce qui donne une équation simple à résoudre. Tu dois isoler la longueur inconnue.
Exemple
Un triangle EFG rectangle en F, avec l'angle E = 40° et EF = 5 cm (côté adjacent à E). On cherche l'hypoténuse EG. On écrit : cos(40°) = EF/EG = 5/EG. Donc EG = 5 / cos(40°). Avec la calculatrice, cos(40°) ≈ 0,766, donc EG ≈ 5 / 0,766 ≈ 6,53 cm.
Formule
Pour trouver le côté adjacent : Adjacent = cos(angle) × Hypoténuse. Pour trouver l'hypoténuse : Hypoténuse = Adjacent / cos(angle).
4. Calculer la mesure d'un angle
Parfois, on connaît les longueurs des côtés d'un triangle rectangle et on veut trouver la mesure d'un angle. On utilise encore la formule du cosinus, mais cette fois on connaît la valeur du rapport (côté adjacent / hypoténuse). Cette valeur est le cosinus de l'angle cherché. Il faut donc utiliser la fonction inverse du cosinus sur la calculatrice (notée cos⁻¹ ou Arccos) pour 'remonter' à l'angle.
Exemple
Un triangle MNP rectangle en N, avec MN = 3 cm et MP = 5 cm. MN est adjacent à l'angle M. On a cos(M) = MN/MP = 3/5 = 0,6. L'angle M est donc l'angle dont le cosinus vaut 0,6. Sur la calculatrice : cos⁻¹(0,6) ≈ 53,1°. L'angle M mesure environ 53,1°.
Astuce
Pour être sûr de ne pas te tromper d'angle, dessine-le rapidement et colorie l'angle cherché. Surligne ensuite le côté adjacent (celui qui forme l'angle avec l'hypoténuse).
Notions clés à retenir
Triangle rectangle
Triangle qui possède un angle droit (90°).
Hypoténuse
Dans un triangle rectangle, c'est le côté opposé à l'angle droit. C'est toujours le plus long côté.
Côté adjacent
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, c'est le côté qui touche cet angle et qui n'est pas l'hypoténuse (il forme l'angle droit avec l'autre côté).
Cosinus (cos)
Rapport, dans un triangle rectangle, de la longueur du côté adjacent à un angle aigu sur la longueur de l'hypoténuse.
Erreurs à éviter
- ✗Confondre le côté adjacent et l'hypoténuse. L'hypoténuse est TOUJOURS en face de l'angle droit. Le côté adjacent dépend de l'angle choisi.
- ✗Oublier de mettre la calculatrice en mode degrés (DEG). Cela donne des résultats complètement faux. Teste avec cos(60°) qui doit valoir 0,5.
- ✗Inverser la formule : écrire cos(angle) = Hypoténuse / Adjacent. Souviens-toi : le cosinus est un rapport inférieur à 1, donc on divise le petit côté (adjacent) par le grand (hypoténuse).
Types d'exercices
Application directe
Écrire la formule du cosinus pour un angle donné dans une figure. Ex: 'Dans le triangle RST rectangle en S, écris cos(R) = ...'
Calcul de longueur
Trouver la longueur d'un côté manquant (adjacent ou hypoténuse) en utilisant le cosinus d'un angle et une longueur connue.
Calcul d'angle
Trouver la mesure d'un angle aigu d'un triangle rectangle dont on connaît les longueurs des côtés adjacents et de l'hypoténuse.
Problème concret
Mettre en situation : calculer la hauteur d'un bâtiment, la longueur d'une rampe, l'inclinaison d'une échelle... à partir d'un schéma en triangle rectangle.
Pour aller plus loin
- Le sinus et la tangente (SOH TOA) : deux autres rapports qui relient les côtés et les angles dans le triangle rectangle.
- La trigonométrie dans un cercle : le cosinus et le sinus peuvent aussi se définir à l'aide du cercle trigonométrique, pour tous les angles (pas seulement aigus).
- Applications en physique : le cosinus est utilisé pour calculer des forces, des trajectoires, en électricité...
