Calcul littéral avancé
Développement et factorisation : les deux faces d'une même pièce
Salut ! Tu as déjà appris à manipuler des expressions avec des lettres, comme 3x + 2. Maintenant, on va passer à la vitesse supérieure. Imagine que tu as une boîte de Lego : le développement, c'est ouvrir la boîte et étaler toutes les pièces. La factorisation, c'est l'inverse : ranger les pièces similaires dans des sachets pour gagner de la place. Dans ce chapitre, tu vas maîtriser ces deux techniques essentielles qui te serviront dans presque tous les chapitres de maths à venir !
Objectifs du chapitre
- Comprendre et appliquer la double distributivité (développement de (a+b)(c+d))
- Reconnaître et utiliser les identités remarquables
- Factoriser une expression en identifiant un facteur commun
- Factoriser une expression en utilisant une identité remarquable
Le cours
1. La double distributivité : développer un produit de sommes
Tu connais déjà la simple distributivité : k(a+b) = ka + kb. Maintenant, que se passe-t-il si on a deux parenthèses qui se multiplient, comme (a+b)(c+d) ? On va devoir distribuer deux fois. L'idée est simple : chaque terme de la première parenthèse doit multiplier chaque terme de la deuxième parenthèse. C'est comme si tu devais saluer chaque personne de deux groupes différents : tu dis bonjour à toutes les combinaisons possibles.
Exemple
Développons (x + 3)(2x - 5). 1. x multiplie 2x, puis x multiplie (-5). 2. +3 multiplie 2x, puis +3 multiplie (-5). Cela donne : (x * 2x) + (x * (-5)) + (3 * 2x) + (3 * (-5)) = 2x² - 5x + 6x - 15. On réduit ensuite : 2x² + x - 15.
Formule
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Astuce
Pense à la méthode 'PIÈGE' : Premiers, Intérieurs, Extérieurs, Grands. Multiplie les Premiers termes de chaque parenthèse (a*c), les Intérieurs (b*c), les Extérieurs (a*d), et les Grands (b*d). En anglais, on dit FOIL (First, Outer, Inner, Last), c'est le même principe !
2. Les identités remarquables : des formules magiques à connaître par cœur
Ce sont des cas particuliers de la double distributivité qui reviennent si souvent qu'il est indispensable de les connaître. Il y en a trois principales. Les apprendre te fera gagner un temps fou et évitera de nombreuses erreurs de calcul. Elles sont comme des raccourcis sur ton téléphone : plus rapides et plus sûrs.
Exemple
Pour (3x + 4)², applique la première identité : (a+b)² = a² + 2ab + b². Ici, a = 3x et b = 4. Donc a² = (3x)² = 9x², 2ab = 2 * 3x * 4 = 24x, et b² = 4² = 16. Le résultat est 9x² + 24x + 16. Essaie de le développer avec la double distributivité, tu verras, c'est plus long !
Formule
(a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² (a + b)(a - b) = a² - b²
Astuce
Pour retenir (a+b)², chante dans ta tête : 'Le premier au carré, plus le deuxième au carré, plus deux fois le premier fois le deuxième'. Pour (a-b)(a+b)=a²-b², pense à 'La différence des carrés'. C'est la seule où il n'y a pas de terme '2ab'.
3. La factorisation (1) : chercher le facteur commun
Factoriser, c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit. C'est l'opération inverse du développement. La première méthode consiste à repérer un facteur qui est présent dans tous les termes de l'expression. C'est comme si, dans ton goûter, tu avais 2 pommes + 2 bananes + 2 biscuits. Tu peux 'mettre en commun' le 2 : 2 x (pomme + banane + biscuit). En maths, ce facteur peut être un nombre, une lettre, ou même une expression.
Exemple
Factorise 6x² + 9x. 1. On regarde les coefficients 6 et 9. Le plus grand nombre qui les divise tous les deux est 3. 2. On regarde la lettre x. Elle est dans les deux termes : x² et x. On peut prendre x (la puissance la plus petite). 3. Le facteur commun est donc 3x. On écrit : 6x² + 9x = 3x * ? + 3x * ?. Pour retrouver 6x², il faut que 3x multiplié par 2x donne 6x². Pour retrouver 9x, il faut que 3x multiplié par 3 donne 9x. Donc : 6x² + 9x = 3x (2x + 3).
Formule
ka + kb = k(a + b)
Astuce
Pour trouver le facteur commun, pose-toi deux questions : 1) Quel est le plus grand nombre qui divise tous les coefficients ? (Le PGCD) 2) Quelles lettres sont communes à tous les termes, et avec quelle plus petite puissance ?
4. La factorisation (2) : utiliser une identité remarquable
Parfois, l'expression à factoriser a la forme d'une identité remarquable 'à l'envers'. Il faut donc apprendre à reconnaître ces formes spécifiques. C'est comme un puzzle : si tu vois deux carrés parfaits et un double produit, tu dois penser à (a+b)² ou (a-b)². Si tu vois une différence entre deux carrés, pense à (a-b)(a+b).
Exemple
Factorise 4x² - 25. 1. On reconnaît une différence (un moins) entre deux termes. 2. 4x² est le carré de 2x. (car (2x)² = 4x²). 3. 25 est le carré de 5. 4. On a donc bien la forme a² - b², avec a = 2x et b = 5. 5. On applique la formule 'à l'envers' : a² - b² = (a-b)(a+b). Donc : 4x² - 25 = (2x - 5)(2x + 5). Autre exemple : x² + 10x + 25. C'est le carré de x, plus deux fois x fois 5, plus le carré de 5. C'est donc (x + 5)².
Formule
a² + 2ab + b² = (a + b)² a² - 2ab + b² = (a - b)² a² - b² = (a - b)(a + b)
Astuce
Pour reconnaître un carré, vérifie d'abord que les termes 'extrêmes' (le premier et le dernier) sont des carrés parfaits (comme 9, 16, x², 4y²...). Ensuite, regarde si le terme du milieu correspond bien au double produit 2ab.
Notions clés à retenir
Développement
Transformer un produit en une somme ou une différence. Exemple : (x+2)(x-3) devient x² - x - 6.
Factorisation
Transformer une somme ou une différence en un produit. C'est l'opération inverse du développement. Exemple : x² - 9 devient (x-3)(x+3).
Identités remarquables
Formules de développement particulières et très utiles, comme (a+b)², (a-b)² et (a+b)(a-b).
Facteur commun
Nombre, lettre ou expression qui est présent dans tous les termes d'une somme. Il est 'mis en évidence' lors de la factorisation.
Erreurs à éviter
- ✗Erreur : Écrire (a+b)² = a² + b². C'est FAUX ! Il manque le terme 2ab. C'est l'erreur la plus classique. Souviens-toi : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
- ✗Erreur : Oublier de réduire l'expression après un développement. Par exemple, développer (x+1)(x-2) en x² -2x + x -2 et s'arrêter là. Il faut réduire : x² - x - 2.
- ✗Erreur : Confondre les signes dans les identités remarquables, surtout entre (a-b)² et (a+b)(a-b). Dans (a-b)², le terme du milieu est -2ab. Dans (a+b)(a-b), il n'y a pas de terme du milieu, le résultat est directement a² - b².
Types d'exercices
Développement simple
Développer des expressions comme 5(2x-3) ou -2(x²+4).
Double distributivité
Développer des produits de la forme (ax+b)(cx+d). Exemple : (2x+1)(3x-4).
Utilisation des identités remarquables
Développer en utilisant les formules : (5x+2)², (3-y)², (4t+7)(4t-7).
Factorisation avec facteur commun
Factoriser des expressions comme 12a² - 8a ou 3x(x+1) + 5(x+1).
Factorisation avec identités remarquables
Reconnaître et factoriser : 9x² - 16, y² + 6y + 9, 4 - 25z².
Pour aller plus loin
- Les équations produits : résoudre des équations de la forme (x+2)(3x-1)=0, ce qui sera beaucoup plus facile maintenant que tu sais factoriser !
- Le calcul avec des racines carrées : les identités remarquables comme (a+b)(a-b)=a²-b² sont très utiles pour simplifier des expressions avec √.
- La géométrie : On peut calculer des aires ou développer des formules comme (a+b)² en imaginant un carré de côté (a+b).
