Trigonométrie
Les clés pour mesurer l'inaccessible !
Tu te demandes comment calculer la hauteur d'un arbre sans grimper dessus, ou la distance d'un bateau depuis la côte ? La trigonométrie est la réponse ! Dans ce chapitre, tu vas découvrir trois outils magiques : le sinus, le cosinus et la tangente. Ils te permettront de calculer des longueurs et des angles dans n'importe quel triangle rectangle, juste en connaissant quelques informations. Prépare-toi à devenir un as des mesures !
Objectifs du chapitre
- Définir le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle.
- Savoir calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle à l'aide de la trigonométrie.
- Savoir calculer la mesure d'un angle aigu d'un triangle rectangle à l'aide de la trigonométrie.
- Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs et des angles.
Le cours
1. Les trois rapports magiques dans un triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, on se place par rapport à un angle aigu, qu'on appelle souvent l'angle α (alpha). Pour cet angle, on distingue trois côtés : le côté qui lui est opposé (en face de lui), le côté qui lui est adjacent (à côté de lui, mais qui n'est pas l'hypoténuse), et l'hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l'angle droit). Le sinus, le cosinus et la tangente sont simplement des rapports (des divisions) entre ces longueurs. Ces rapports ne dépendent que de la mesure de l'angle α, et pas de la taille du triangle !
Exemple
Imagine un triangle rectangle ABC, rectangle en B, avec l'angle α en A. Le côté [BC] est opposé à α. Le côté [AB] est adjacent à α. Le côté [AC] est l'hypoténuse.
Formule
Pour un angle aigu α dans un triangle rectangle : • sin(α) = (côté opposé à α) / (hypoténuse) • cos(α) = (côté adjacent à α) / (hypoténuse) • tan(α) = (côté opposé à α) / (côté adjacent à α)
Astuce
Pour retenir les formules, pense à la phrase mnémotechnique : **SOH CAH TOA**. • **S**in = **O**pposé / **H**ypoténuse (SOH) • **C**os = **A**djacent / **H**ypoténuse (CAH) • **T**an = **O**pposé / **A**djacent (TOA)
2. Calculer une longueur manquante
C'est l'utilisation la plus courante. Si tu connais la mesure d'un angle et la longueur d'un côté, tu peux trouver n'importe quel autre côté. Il faut d'abord bien identifier, par rapport à l'angle connu, quel côté tu cherches et quel côté tu connais. Ensuite, tu choisis la formule (sinus, cosinus ou tangente) qui fait intervenir ces deux côtés. Tu écris l'équation et tu la résous pour trouver la longueur inconnue.
Exemple
Un arbre est planté perpendiculairement au sol. À 10 mètres de son pied, on mesure un angle de 30° entre le sol et le sommet de l'arbre. Quelle est sa hauteur ? Ici, l'angle de 30° est au niveau de l'observateur. Par rapport à cet angle, la hauteur de l'arbre est le côté opposé, et la distance au pied (10 m) est le côté adjacent. On utilise donc la tangente : tan(30°) = hauteur / 10. Donc hauteur = 10 × tan(30°). Avec la calculatrice, tan(30°) ≈ 0,577. La hauteur est donc d'environ 5,77 mètres.
Formule
Longueur cherchée = Longueur connue × Fonction trigonométrique (angle). Exemple : côté opposé = côté adjacent × tan(α).
Astuce
Fais toujours un schéma propre en nommant les sommets et en notant les données. Entoure l'angle de travail et colorie les côtés 'opposé', 'adjacent' et 'hypoténuse' avec des couleurs différentes pour t'y retrouver.
3. Calculer la mesure d'un angle
On peut aussi faire le chemin inverse : si tu connais les longueurs de deux côtés d'un triangle rectangle, tu peux trouver la mesure d'un angle aigu. Après avoir identifié les côtés par rapport à l'angle cherché, tu calcules d'abord la valeur du sinus, du cosinus ou de la tangente (en divisant les longueurs). Ensuite, il faut utiliser la fonction inverse de la calculatrice (notée sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹) pour retrouver l'angle correspondant à cette valeur.
Exemple
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur. Son pied est à 2 m du mur. Quel angle fait-elle avec le sol ? L'échelle est l'hypoténuse (5 m). La distance au mur est le côté adjacent à l'angle au sol (2 m). On utilise donc le cosinus : cos(angle) = adjacent / hypoténuse = 2/5 = 0,4. Sur la calculatrice, on tape 'cos⁻¹(0,4)' ce qui donne un angle d'environ 66,4°.
Formule
Angle α = Fonction trigonométrique inverse ( rapport des côtés ). Exemple : α = cos⁻¹( côté adjacent / hypoténuse ).
Astuce
Sur ta calculatrice, vérifie bien qu'elle est en mode 'DEG' (degrés) et non en 'RAD' (radians). Les touches inverses s'obtiennent souvent en appuyant sur 'SHIFT' ou '2nd' puis sur la touche sin, cos ou tan.
4. Les valeurs remarquables et la calculatrice
Certains angles reviennent souvent : 30°, 45° et 60°. Leurs valeurs de sinus, cosinus et tangente sont exactes et il est très utile de les connaître. Pour les autres angles, tu utiliseras ta calculatrice. Elle te donne une valeur approchée du sinus, cosinus ou tangente d'un angle. Elle te permet aussi, avec les touches inverses, de trouver un angle quand tu connais la valeur de son sinus, cosinus ou tangente. C'est un outil indispensable, mais il faut savoir bien l'utiliser !
Exemple
Pour un angle de 45°, le triangle rectangle est isocèle. Si les côtés adjacents valent 1, l'hypoténuse vaut √2. Donc sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 ≈ 0,707 et tan(45°) = 1/1 = 1. Pour un angle de 37°, tu tapes simplement 'sin(37)' sur ta calculatrice pour obtenir une valeur approchée (environ 0,602).
Formule
Valeurs à connaître : • sin(30°)=1/2 ; cos(30°)=√3/2 ; tan(30°)=1/√3 • sin(45°)=√2/2 ; cos(45°)=√2/2 ; tan(45°)=1 • sin(60°)=√3/2 ; cos(60°)=1/2 ; tan(60°)=√3
Astuce
Pour retenir les sinus de 30°, 45° et 60°, pense à √1/2, √2/2, √3/2. C'est-à-dire sin(30°)=√1/2=1/2, sin(45°)=√2/2, sin(60°)=√3/2. Les cosinus sont dans l'ordre inverse !
Notions clés à retenir
Triangle rectangle
Triangle possédant un angle droit (90°). Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse, c'est le plus long côté.
Côté opposé
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, c'est le côté qui se trouve en face de cet angle.
Côté adjacent
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, c'est le côté qui touche cet angle et qui n'est pas l'hypoténuse.
Sinus (sin)
Rapport de la longueur du côté opposé à un angle aigu sur la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle.
Cosinus (cos)
Rapport de la longueur du côté adjacent à un angle aigu sur la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle.
Tangente (tan)
Rapport de la longueur du côté opposé à un angle aigu sur la longueur du côté adjacent dans un triangle rectangle.
Fonction inverse
Fonction de la calculatrice (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹) qui permet de retrouver la mesure d'un angle quand on connaît la valeur de son sinus, cosinus ou tangente.
Erreurs à éviter
- ✗Confondre le côté adjacent et l'hypoténuse. Souviens-toi : l'adjacent 'touche' l'angle et forme l'angle droit avec le côté opposé. L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit.
- ✗Utiliser la mauvaise formule (sin, cos ou tan). Pour éviter cela, applique méthodiquement SOH CAH TOA en identifiant d'abord les côtés que tu connais et que tu cherches.
- ✗Oublier de mettre la calculatrice en mode degrés (DEG). Si elle est en radians (RAD), tous tes résultats pour les angles seront faux ! Vérifie toujours ce point avant de commencer.
- ✗Chercher à calculer le sinus, cosinus ou tangente d'un angle droit (90°). Ces outils ne fonctionnent que pour les angles aigus (entre 0° et 90° exclus) dans un triangle rectangle.
Types d'exercices
Calcul direct
On te donne un triangle rectangle avec des longueurs. Tu dois calculer sin(α), cos(α) ou tan(α) en écrivant le rapport des côtés (sans calculatrice).
Calcul de longueur (côté)
Problème concret (hauteur d'un bâtiment, longueur d'une rampe...). On te donne un angle et une longueur, tu dois en trouver une autre en utilisant sin, cos ou tan AVEC la calculatrice.
Calcul d'angle
On te donne les longueurs de deux côtés d'un triangle rectangle. Tu dois calculer la mesure d'un angle aigu en utilisant sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹ sur ta calculatrice.
Problème à plusieurs étapes
Un problème plus complexe où il faut peut-être utiliser la trigonométrie deux fois de suite, ou combiner avec le théorème de Pythagore, pour trouver la solution.
Pour aller plus loin
- La trigonométrie dans un cercle : le cercle trigonométrique permet de définir sinus et cosinus pour n'importe quel angle, même supérieur à 90°. Tu le verras en Seconde.
- Les relations entre sin, cos et tan : Par exemple, on a toujours tan(α) = sin(α)/cos(α). Et la formule fondamentale : sin²(α) + cos²(α) = 1.
- Les applications en physique : La trigonométrie est essentielle pour étudier les forces (décomposition), les ondes, la trajectoire des projectiles...
