Théorème de Thalès
Le secret des figures qui se ressemblent
Imagine que tu veuilles calculer la hauteur d'un arbre sans grimper dessus, ou la largeur d'une rivière sans la traverser. Le théorème de Thalès est un outil magique qui va te permettre de faire ça ! Il te montre comment, dans certaines figures géométriques, les longueurs sont proportionnelles. C'est un théorème très puissant qui te servira aussi bien en maths que dans la vie de tous les jours. Prêt à découvrir son secret ?
Objectifs du chapitre
- Comprendre la configuration de Thalès (la fameuse 'configuration en papillon' ou 'en sablier')
- Maîtriser l'énoncé et l'écriture du théorème de Thalès
- Savoir calculer une longueur manquante dans une figure
- Savoir démontrer que deux droites sont parallèles grâce à la réciproque du théorème
Le cours
1. La configuration de Thalès : reconnaître le bon schéma
Pour pouvoir utiliser le théorème de Thalès, il faut d'abord être sûr d'être dans la bonne situation géométrique. On a deux droites sécantes en un point, souvent appelé A. Ces deux droites sont coupées par deux autres droites qui sont parallèles entre elles. Cela forme une sorte de sablier ou de papillon. Le point clé est que les deux droites qui coupent les sécantes doivent être parallèles. Si elles ne le sont pas, le théorème ne s'applique pas ! On dit qu'on est dans une 'configuration de Thalès'.
Exemple
Pense à un vrai sablier : les deux parties sont reliées par un fin goulot. Si tu imagines que les bords extérieurs du sablier sont les deux droites sécantes, et que les deux parois intérieures du goulot sont les droites parallèles, tu as la configuration ! Autre exemple : les rayons du soleil qui passent entre deux nuages parallèles et arrivent au sol.
Formule
Configuration : (d) et (d') sécantes en A. B et M sur (d), C et N sur (d'). Si (BC) // (MN), alors on peut appliquer le théorème.
Astuce
Dessine un grand 'A' ou un 'X'. Ensuite, trace deux petites barres horizontales entre les branches du 'A'. Si ces deux barres sont parallèles, tu as la bonne configuration ! On l'appelle aussi la 'configuration en papillon'.
2. L'énoncé du théorème : le calcul des longueurs
Maintenant que tu as reconnu la configuration, que dit le théorème ? Il affirme que les longueurs sur les deux droites sécantes sont proportionnelles. Concrètement, cela signifie que si tu fais le rapport (la division) de deux longueurs sur la grande droite, il sera égal au rapport des deux longueurs correspondantes sur l'autre droite. On obtient ainsi une égalité de trois rapports. Cette égalité est une véritable machine à calculer : si tu connais trois longueurs, tu peux toujours trouver la quatrième !
Exemple
Sur la figure avec A, M, B alignés et A, N, C alignés, avec (MN) // (BC). Supposons AM = 3 cm, AB = 5 cm et AN = 4 cm. Le théorème nous dit que AM/AB = AN/AC = MN/BC. Donc 3/5 = 4/AC. On peut en déduire AC = (4 * 5) / 3 ≈ 6,67 cm.
Formule
Avec les points de la configuration : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Attention à bien mettre les segments dans le bon ordre : le petit segment sur le grand segment, partant du sommet A.
Astuce
Pour bien écrire les rapports, suis ce chemin mental : 'Partant du sommet A, je vais jusqu'au point sur la parallèle, puis je vais jusqu'au bout de la figure.' Le rapport est toujours : (chemin sur une parallèle) / (chemin total sur la même sécante). L'astuce 'SOMMET-PARALLÈLE-EXTRÉMITÉ' peut t'aider à ne pas te tromper.
3. La réciproque du théorème : prouver le parallélisme
Le théorème de Thalès a une réciproque très utile. Elle fonctionne comme un détective géométrique. Si dans une configuration en 'papillon', les rapports de longueurs calculés sont égaux, alors on peut en déduire avec certitude que les deux droites sont parallèles ! C'est l'inverse du théorème direct : au lieu de dire 'si parallèles alors rapports égaux', on dit 'si rapports égaux et points bien alignés, alors parallèles'. Il faut absolument vérifier que les points sont dans le bon ordre sur les droites.
Exemple
Sur les droites (AB) et (AC) sécantes en A, on place M sur [AB] et N sur [AC]. On mesure AM=2cm, AB=5cm, AN=3cm et AC=7.5cm. On calcule AM/AB = 2/5 = 0,4 et AN/AC = 3/7,5 = 0,4. Les rapports sont égaux et les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre. Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Formule
Condition : A, M, B alignés dans cet ordre et A, N, C alignés dans cet ordre. Si AM/AB = AN/AC, alors (MN) // (BC).
Astuce
Pour utiliser la réciproque, pense à l'acronyme O.R.D.R.E. : il faut vérifier l'Ordre des points sur les droites (A, M, B et A, N, C) et que les Rapports sont égaux. Sans l'ordre, la conclusion est fausse !
4. Applications concrètes : de la géométrie à la vie réelle
Ce théorème n'est pas qu'un exercice de style sur ta copie. Il est utilisé par les architectes, les géomètres, les astronomes et même les artistes ! Dès que tu as une situation d'agrandissement ou de réduction, Thalès n'est pas loin. Il permet de calculer des distances inaccessibles directement. La clé est de repérer dans le paysage ou le problème la fameuse configuration avec des droites parallèles.
Exemple
1) Mesurer la hauteur d'un immeuble avec un bâton : Tu plantes un bâton vertical de 1m. Tu mesures son ombre (2m) et l'ombre de l'immeuble (30m). Les rayons du soleil étant parallèles, on a une configuration de Thalès. Hauteur immeuble / 1m = 30m / 2m. Donc hauteur = 15m. 2) Sur une carte ou un plan à l'échelle, toutes les distances sont proportionnelles : c'est le théorème de Thalès généralisé !
Formule
Pas de nouvelle formule ici, mais une application de la formule de base dans un contexte réel.
Astuce
Quand tu fais un exercice d'application, commence toujours par faire un schéma clair et simple. Nomme tous les points (A, B, C...). Ensuite, surligne ou colorie les deux droites parallèles pour bien les visualiser. Cela t'évitera beaucoup d'erreurs.
Notions clés à retenir
Droites sécantes
Deux droites qui se coupent en un point unique.
Droites parallèles
Deux droites qui ne se coupent jamais, toujours à la même distance l'une de l'autre. Notées (d) // (d').
Rapport
Quotient de deux grandeurs (une division). Par exemple, le rapport 3/4.
Proportionnalité
Relation entre deux suites de nombres telle que l'on passe de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre (le coefficient).
Configuration de Thalès
La disposition géométrique nécessaire pour appliquer le théorème : deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles.
Réciproque
Proposition qui échange la condition et la conclusion d'un théorème. Pour Thalès : 'Si les rapports sont égaux (et les points bien alignés), alors les droites sont parallèles.'
Erreurs à éviter
- ✗Mettre les segments dans le mauvais ordre dans les rapports (par exemple AB/AM au lieu de AM/AB). Pour l'éviter, pars toujours du sommet commun (A).
- ✗Appliquer le théorème alors que les droites ne sont pas parallèles. Il faut toujours commencer par vérifier ou démontrer le parallélisme (sauf quand on utilise la réciproque).
- ✗Oublier de vérifier l'alignement et l'ordre des points quand on utilise la réciproque. Des rapports égaux ne suffisent pas, il faut que les points soient dans l'ordre A, M, B et A, N, C sur les droites.
- ✗Confondre les segments quand on écrit l'égalité des trois rapports. Il faut être cohérent : si on commence par AM/AB, le rapport suivant doit aussi partir de A (AN/AC) et le dernier concerne les parallèles (MN/BC).
Types d'exercices
Calcul de longueur (direct)
On te donne une figure avec des droites parallèles et trois longueurs. Tu dois calculer la quatrième longueur en utilisant l'égalité AM/AB = AN/AC.
Démonstration de parallélisme (réciproque)
On te donne une figure et des longueurs. Tu dois calculer des rapports et, s'ils sont égaux, conclure que deux droites sont parallèles en citant la réciproque du théorème de Thalès.
Problème de mise en équation
On te donne une figure et une longueur exprimée avec une inconnue (x). Tu dois écrire l'égalité de Thalès et résoudre l'équation pour trouver la valeur de x.
Problème concret (type 'ombre')
Une mise en situation réelle (hauteur d'un bâtiment, largeur d'une rivière) où tu dois modéliser le problème par une configuration de Thalès et effectuer un calcul.
Pour aller plus loin
- Le théorème de Thalès dans l'espace (pour les pyramides et les cônes).
- Le lien entre le théorème de Thalès et les homothéties (agrandissements et réductions).
- L'histoire des mathématiques : qui était Thalès de Milet et comment a-t-il mesuré la hauteur des pyramides ?
