Probabilités
De l'intuition au calcul : maîtriser le hasard !
Dans ce chapitre, nous allons apprendre à quantifier le hasard de manière précise. Tu vas découvrir comment calculer la probabilité d'événements plus complexes, comme tirer deux boules d'un sac ou lancer plusieurs fois un dé. Ces notions te permettront de mieux comprendre les jeux de hasard, les sondages et même certains phénomènes de la vie quotidienne. Prêt à devenir un expert en prévisions ?
Objectifs du chapitre
- Calculer la probabilité d'événements composés (avec plusieurs étapes)
- Distinguer et utiliser les probabilités conditionnelles
- Comprendre et appliquer la loi des grands nombres
- Analyser et interpréter des résultats statistiques simples
Le cours
1. Probabilités d'événements composés : Quand le hasard s'enchaîne
Parfois, une expérience aléatoire ne se résume pas à un seul tirage ou lancer. On parle d'événement composé lorsqu'il faut réaliser plusieurs actions successives, comme tirer deux cartes l'une après l'autre sans remettre la première. Pour calculer la probabilité d'un tel événement, on peut construire un arbre de probabilités. Chaque branche représente un choix possible, et on multiplie les probabilités le long du chemin qui mène au résultat souhaité. C'est une méthode visuelle très puissante pour ne rien oublier.
Exemple
Un sac contient 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B). On tire une boule au hasard, on note sa couleur, et on la remet dans le sac avant de tirer une deuxième boule. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge puis une boule bleue ? - Probabilité de tirer R au 1er tirage : 3/5. - Probabilité de tirer B au 2ème tirage : 2/5 (car on a remis la boule). - Probabilité de l'événement (R puis B) : (3/5) x (2/5) = 6/25.
Formule
Pour deux événements successifs A puis B, avec remise : P(A puis B) = P(A) x P(B). Sans remise : P(A puis B) = P(A) x P(B sachant que A est déjà arrivé).
Astuce
Pense à l'arbre ! Dessine-le systématiquement pour les expériences à plusieurs étapes. Pour calculer la probabilité d'un chemin, tu fais : 'Probabilité de la branche x Probabilité de la branche suivante'.
2. Probabilités conditionnelles : L'information qui change tout
Une probabilité conditionnelle, c'est la probabilité qu'un événement se réalise sachant qu'un autre événement est déjà réalisé. Cette information nouvelle modifie souvent la situation et donc le calcul. Par exemple, la probabilité qu'il pleuve demain n'est pas la même si je te dis que le ciel est déjà couvert de nuages aujourd'hui. En maths, on note P(B|A) la probabilité de B sachant A. Pour la calculer, on se restreint aux cas où A est vrai, et on regarde parmi ceux-là combien vérifient B.
Exemple
Dans une classe de 30 élèves, 18 font de l'anglais (A) et 12 de l'espagnol (E). Parmi ceux qui font anglais, 10 sont des filles (F). Si je choisis un élève au hasard parmi ceux qui font anglais, quelle est la probabilité que ce soit une fille ? - L'information 'fait de l'anglais' est déjà connue. On ne regarde donc que les 18 élèves en anglais. - Parmi eux, 10 sont des filles. - Donc P(F sachant A) = 10/18 = 5/9.
Formule
P(B|A) = (Nombre d'issues réalisant A ET B) / (Nombre d'issues réalisant A). On peut aussi écrire : P(A et B) = P(A) x P(B|A).
Astuce
La phrase clé est 'SACHANT QUE...'. Dès que tu la vois, tu dois réduire ton univers de possibilités. Imagine que tu zoomes sur la partie de la situation qui t'intéresse.
3. La loi des grands nombres : La régularité du hasard
Si tu lances une pièce équilibrée 10 fois, tu pourrais très bien obtenir 8 faces et 2 piles. Ce n'est pas étrange, c'est le hasard. Mais si tu la lances 1000 fois, tu observeras que la fréquence d'apparition de 'face' (nombre de faces / nombre total de lancers) se rapprochera de plus en plus de la probabilité théorique, qui est 1/2. C'est cela, la loi des grands nombres : plus on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, plus la fréquence observée d'un événement se stabilise autour de sa probabilité théorique. C'est ce qui permet aux assurances de fonctionner ou aux sondages d'être fiables.
Exemple
La probabilité théorique d'obtenir un 6 avec un dé équilibré est 1/6 ≈ 0,166. - Sur 10 lancers, tu pourrais obtenir 3 six : fréquence = 3/10 = 0,3. - Sur 100 lancers, tu pourrais obtenir 18 six : fréquence = 18/100 = 0,18. - Sur 10 000 lancers, tu obtiendras environ 1666 six : fréquence ≈ 1666/10000 = 0,1666. La fréquence se rapproche de la probabilité théorique.
Astuce
Pense à un sondage. Interroger 10 personnes ne donne pas une idée fiable de l'opinion de tout un pays. Interroger 1000 personnes, si ! C'est le même principe : plus le nombre d'expériences est grand, plus le résultat est 'fiable' par rapport à la théorie.
4. Statistiques et probabilités : Faire le lien
Les statistiques et les probabilités sont les deux faces d'une même pièce. Les probabilités prédisent ce qui *devrait* se passer théoriquement (le modèle). Les statistiques observent et analysent ce qui *s'est réellement* passé dans une expérience ou sur un échantillon (la réalité). En 3ème, tu dois savoir interpréter des données statistiques (moyenne, médiane, étendue) et comprendre qu'elles peuvent fluctuer d'un échantillon à l'autre, justement à cause du hasard. La probabilité nous aide à évaluer si un écart entre une observation et une théorie est dû au simple hasard ou à autre chose.
Exemple
Un fabricant de dés affirme que ses dés sont équilibrés (probabilité de 6 = 1/6). Pour le vérifier, un contrôleur lance un dé 600 fois et obtient 120 fois le chiffre 6. - Fréquence observée : 120/600 = 0,2. - Probabilité théorique : 1/6 ≈ 0,166. L'écart est-il inquiétant ? La loi des grands nombres nous dit qu'un petit écart est normal. Ici, 0,2 est proche de 0,166. Un calcul plus poussé (hors programme) permettrait de dire si cet écart est 'raisonnable' pour un dé équilibré ou s'il est suspect.
Astuce
Quand tu analyses des stats, demande-toi toujours : 'Est-ce que ce résultat pourrait être dû simplement au hasard, ou est-il vraiment étonnant ?'. Les probabilités aident à répondre.
Notions clés à retenir
Événement composé
Événement qui résulte de la succession de plusieurs expériences aléatoires (ex: tirer deux boules).
Arbre de probabilités
Représentation graphique qui permet de lister tous les résultats possibles d'une expérience à plusieurs étapes et de calculer leurs probabilités.
Probabilité conditionnelle
Probabilité qu'un événement B se réalise, sachant qu'un événement A est déjà réalisé. Notée P(B|A).
Loi des grands nombres
Principe selon lequel la fréquence d'apparition d'un événement, sur un grand nombre de répétitions, se rapproche de sa probabilité théorique.
Erreurs à éviter
- ✗Additionner au lieu de multiplier : Pour la probabilité de 'A puis B', on multiplie P(A) et P(B), on ne les additionne pas. L'addition, c'est pour 'A ou B' quand les événements sont incompatibles.
- ✗Oublier que 'sachant que' change l'univers : Quand on calcule P(B|A), on ne prend pas tous les cas possibles, seulement ceux où A est vrai. Beaucoup d'élèves divisent par le nombre total d'issues au lieu du nombre d'issues où A est réalisé.
- ✗Confondre fréquence et probabilité : La probabilité est une valeur théorique fixe (ex: 1/6 pour un dé équilibré). La fréquence est un résultat observé qui varie d'une série de lancers à l'autre, surtout si le nombre d'essais est petit.
Types d'exercices
Arbre et calcul
Construire un arbre de probabilités pour une expérience à deux ou trois étapes (avec ou sans remise) et calculer la probabilité d'un chemin spécifique.
Probabilité conditionnelle
À partir d'un tableau à double entrée (ex: garçons/filles, pratique un sport/ne pratique pas), calculer une probabilité du type P(... sachant que ...).
Loi des grands nombres
Interpréter des résultats de simulation (fréquences sur 10, 100, 1000 essais) pour vérifier qu'ils se rapprochent d'une probabilité donnée.
Problème de synthèse
Mettre en œuvre plusieurs notions du chapitre dans une situation concrète (ex: jeu avec plusieurs tirages, contrôle qualité).
Pour aller plus loin
- Les variables aléatoires (attribuer un nombre à chaque issue, comme le gain à un jeu).
- L'échantillonnage : comment prélever un échantillon représentatif pour faire des statistiques fiables.
- Les probabilités dans la génétique (transmission des caractères héréditaires).
