Fonctions
Les machines à calculer de la vie réelle
Imagine que tu as une machine magique dans laquelle tu entres un nombre, et elle te donne un autre nombre en suivant une règle précise. C'est exactement ce qu'est une fonction ! Dans ce chapitre, on va découvrir deux types de fonctions très utiles et présentes partout autour de toi : les fonctions linéaires et affines. Tu vas apprendre à les reconnaître, à les utiliser et à les tracer. C'est un outil puissant pour modéliser plein de situations du quotidien.
Objectifs du chapitre
- Comprendre ce qu'est une fonction et son vocabulaire (antécédent, image)
- Reconnaître et définir une fonction linéaire
- Reconnaître et définir une fonction affine
- Savoir représenter graphiquement ces fonctions et interpréter leur coefficient directeur et leur ordonnée à l'origine
Le cours
1. Qu'est-ce qu'une fonction ?
Une fonction, c'est une relation qui à chaque nombre 'x' (qu'on appelle l'antécédent) associe un unique nombre 'y' (qu'on appelle l'image). On note souvent cette relation f : x → y ou f(x) = y. Pense à une machine à soda : tu choisis un bouton (l'antécédent), et la machine te donne une boisson spécifique (l'image). Pour un même bouton, tu auras toujours la même boisson. On peut représenter une fonction de trois façons : par une formule (comme f(x) = 2x), par un tableau de valeurs, ou par une courbe dans un repère.
Exemple
La fonction qui donne le prix à payer en fonction du nombre de croissants achetés à 1,20€ pièce. Si x est le nombre de croissants, le prix f(x) est 1,20 × x. Pour 3 croissants (x=3), l'image est f(3) = 1,20 × 3 = 3,60€. L'antécédent de 6€ est 5, car il faut 5 croissants pour payer 6€ (1,20 × 5 = 6).
Formule
f(x) = ... (la règle de calcul)
Astuce
Pour te souvenir : Antécédent → on y pense AVANT, c'est le 'x' qu'on choisit. Image → c'est le résultat, l'IMage que ça produit, comme une photo du résultat.
2. La fonction linéaire : la proportionnalité
Une fonction linéaire est le modèle mathématique de la proportionnalité. Sa représentation graphique est une droite qui passe toujours par l'origine du repère (le point de coordonnées (0;0)). Cela signifie que si l'antécédent est nul, l'image est forcément nulle aussi. Le nombre 'a' qui multiplie x est appelé le coefficient directeur. Il indique la 'pente' de la droite : plus il est grand (en valeur absolue), plus la droite est inclinée. S'il est positif, la droite 'monte', s'il est négatif, elle 'descend'.
Exemple
Le prix de l'essence : si 1 litre coûte 1,80€, le prix pour x litres est donné par la fonction linéaire f(x) = 1,80x. Le coefficient directeur est 1,80. Pour 0 litre, on paie 0€ (la droite passe par l'origine). Pour 10 litres, f(10)=18€.
Formule
f(x) = a × x, où 'a' est un nombre constant (le coefficient de proportionnalité).
Astuce
Linéaire = Ligne qui passe par l'Origine. Retiens l'acronyme 'LO' pour Linaire-Origine. Son équation est simple : f(x) = ax, pas de nombre ajouté ou retranché après.
3. La fonction affine : la proportionnalité avec un départ décalé
Une fonction affine généralise la fonction linéaire. Sa représentation graphique est aussi une droite, mais celle-ci ne passe pas nécessairement par l'origine. Elle modélise des situations avec un coût fixe (ou un départ) auquel on ajoute une part proportionnelle. Elle est définie par deux nombres : le coefficient directeur 'a' (qui joue le même rôle que pour les linéaires) et l'ordonnée à l'origine 'b'. Ce 'b' est l'image de 0, c'est-à-dire la valeur de départ quand x=0. C'est l'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Exemple
Abonnement téléphonique : tu payes un forfait fixe de 10€ par mois, puis 0,10€ par SMS envoyé. Le prix total f(x) pour x SMS est : f(x) = 0,10x + 10. Ici, a=0,10 et b=10. Même si tu n'envoies aucun SMS (x=0), tu payes 10€ (c'est l'ordonnée à l'origine).
Formule
f(x) = a × x + b, où 'a' (coefficient directeur) et 'b' (ordonnée à l'origine) sont des nombres constants.
Astuce
Affine = Avec un décalage Final (le 'b'). Pour tracer sa droite rapidement, place d'abord le point correspondant à b sur l'axe des ordonnées, puis utilise le coefficient directeur a pour trouver un deuxième point (ex: si a=2, depuis le premier point, avance de 1 en horizontal et monte de 2 en vertical).
4. Tracer et interpréter une droite
Pour tracer la droite représentative d'une fonction affine f(x)=ax+b, tu n'as besoin que de deux points. Le plus simple est souvent de calculer l'image de 0 (ce qui donne le point (0 ; b)) et l'image d'un autre nombre, comme 1 ou 10 pour avoir des calculs simples. Une fois la droite tracée, tu peux l'interpréter : le coefficient directeur 'a' donne la variation de f(x) quand x augmente de 1. Si a=3, alors chaque fois que x augmente de 1, f(x) augmente de 3. L'ordonnée à l'origine 'b' donne la valeur de départ, la situation initiale.
Exemple
Pour tracer g(x) = -0.5x + 4. Point 1 : si x=0, g(0)=4 → place le point A(0;4). Point 2 : si x=2, g(2)= -0.5*2 + 4 = -1 + 4 = 3 → place le point B(2;3). Trace la droite (AB). On lit que le départ (quand x=0) est à 4. Comme a=-0.5, quand x augmente de 1, g(x) diminue de 0,5.
Formule
Méthode de tracé : 1) Calculer f(0) = b. 2) Choisir une autre valeur de x (ex: 1) et calculer f(1)= a+b. 3) Placer les points (0,b) et (1, a+b) et tracer la droite.
Astuce
Pour lire 'a' sur un graphique : pars d'un point de la droite, avance de 1 carreau horizontalement vers la droite. Regarde de combien de carreaux tu dois monter (si a>0) ou descendre (si a<0) verticalement pour retomber sur la droite. Ce nombre de carreaux, c'est 'a'.
Notions clés à retenir
Fonction
Relation qui à un nombre x (antécédent) associe un unique nombre y (image).
Antécédent
Nombre x que l'on 'entre' dans la fonction. C'est la variable.
Image
Nombre y obtenu après avoir appliqué la fonction à un antécédent. Notation : f(x).
Fonction linéaire
Fonction de la forme f(x)=ax. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Modèle de la proportionnalité.
Fonction affine
Fonction de la forme f(x)=ax+b. Sa représentation graphique est une droite. 'a' est le coefficient directeur, 'b' l'ordonnée à l'origine.
Coefficient directeur (a)
Dans f(x)=ax+b, il indique la pente de la droite. Il correspond à la variation de f(x) quand x augmente de 1.
Ordonnée à l'origine (b)
Dans f(x)=ax+b, c'est la valeur de f(0). C'est l'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Erreurs à éviter
- ✗Confondre antécédent et image. Par exemple, dire 'l'antécédent de 5 par f(x)=2x est 10' au lieu de 'l'image de 5 est 10' ou 'l'antécédent de 10 est 5'.
- ✗Oublier que le graphique d'une fonction linéaire DOIT passer par l'origine (0;0). Beaucoup tracent une droite proportionnelle mais qui ne passe pas par ce point.
- ✗Se tromper dans le calcul du coefficient directeur 'a' à partir d'un graphique. Il faut bien regarder la variation verticale pour une augmentation horizontale de 1, et faire attention au signe (monter = positif, descendre = négatif).
- ✗Pour une fonction affine, mal interpréter 'b'. Dire par exemple que dans f(x)=2x+3, le point de départ est (3;0) au lieu de comprendre que c'est le point (0;3).
Types d'exercices
Calcul d'images et d'antécédents
Étant donnée la formule d'une fonction (ex: f(x)=3x-2), calculer f(5) ou trouver x tel que f(x)=10.
Reconnaître le type de fonction
À partir d'une formule (ex: g(x)=7x, h(x)=4), dire si elle est linéaire, affine, ou ni l'un ni l'autre, et justifier.
Déterminer une fonction à partir de sa représentation
À partir d'une droite tracée dans un repère, lire les coordonnées de deux points et en déduire l'expression de la fonction affine f(x)=ax+b.
Problème concret modélisé
Mettre en équation une situation de la vie courante (tarif avec abonnement, location de vélo, etc.) en définissant une fonction, puis répondre à des questions en l'utilisant.
Pour aller plus loin
- Les fonctions de référence : la fonction carré f(x)=x² et la fonction inverse f(x)=1/x, dont les courbes ne sont pas des droites.
- Les systèmes d'équations : comment trouver le point d'intersection de deux droites, c'est-à-dire résoudre f(x)=g(x).
- Les fonctions affines par morceaux, utilisées pour modéliser des tarifs progressifs (ex: forfait internet avec un seuil de données).
