Équations et inéquations
Résoudre des problèmes à plusieurs inconnues et comparer des quantités
Salut ! Dans ce chapitre, nous allons apprendre à résoudre des problèmes plus complexes que ceux que tu as déjà vus. Imagine que tu dois trouver deux nombres inconnus en même temps, ou comparer des quantités pour savoir quand une situation est plus avantageuse qu'une autre. C'est exactement ce que tu vas maîtriser ici : les systèmes d'équations et les inéquations. Ces outils sont super utiles dans la vie de tous les jours, par exemple pour comparer des forfaits téléphoniques ou gérer un budget.
Objectifs du chapitre
- Savoir résoudre un système de deux équations à deux inconnues par substitution et par combinaison
- Comprendre ce qu'est une inéquation et comment la résoudre
- Représenter graphiquement les solutions d'une inéquation du premier degré
- Appliquer ces méthodes à des problèmes concrets de la vie courante
Le cours
1. Les systèmes d'équations : deux inconnues, deux équations
Un système d'équations, c'est comme une énigme avec deux indices. Tu cherches deux nombres, souvent notés x et y, qui vérifient deux conditions en même temps. Par exemple, trouver deux nombres dont la somme fait 10 et la différence fait 2. Chaque condition est une équation. L'objectif est de trouver la valeur de x et la valeur de y qui marchent pour les deux équations à la fois. On dit qu'on cherche le couple solution (x ; y). Il existe deux méthodes principales pour résoudre ces systèmes : la substitution et la combinaison (ou addition).
Exemple
Problème : Dans un jardin, il y a des lapins et des poules. On compte 10 têtes et 28 pattes. Combien y a-t-il de lapins et de poules ? Si on note x le nombre de lapins et y le nombre de poules, on a : - Équation des têtes : x + y = 10 (car chaque animal a une tête). - Équation des pattes : 4x + 2y = 28 (car un lapin a 4 pattes, une poule en a 2).
Formule
Système de la forme : { a₁x + b₁y = c₁ ; a₂x + b₂y = c₂ }
Astuce
Pense aux 'têtes et pattes' pour te souvenir qu'un système sert à résoudre des problèmes avec deux quantités inconnues liées par deux informations différentes.
2. La méthode par substitution
Cette méthode consiste à 'isoler' une inconnue dans une des deux équations (par exemple, exprimer y en fonction de x). Ensuite, on 'substitue' cette expression dans la deuxième équation. Cela veut dire qu'on remplace y par l'expression trouvée. On obtient alors une équation avec une seule inconnue (x), que l'on sait résoudre. Une fois qu'on a trouvé x, on le réinjecte dans l'expression de y pour trouver sa valeur. C'est une méthode très logique, étape par étape.
Exemple
Reprenons le système : { x + y = 10 ; 4x + 2y = 28 } 1) On isole y dans la première équation : y = 10 - x. 2) On substitue dans la seconde : 4x + 2*(10 - x) = 28. 3) On résout : 4x + 20 - 2x = 28 -> 2x = 8 -> x = 4. 4) On trouve y : y = 10 - 4 = 6. Il y a donc 4 lapins et 6 poules.
Formule
Isoler → Substituer → Résoudre → Remplacer
Astuce
Le mot 'substitution' vient du sport : un joueur remplace un autre. Ici, une expression remplace l'inconnue !
3. La méthode par combinaison (ou addition)
Cette méthode, aussi appelée méthode par addition, utilise le principe d'élimination. L'idée est de combiner les deux équations pour faire disparaître une des deux inconnues. Pour cela, on multiplie chaque équation par un nombre bien choisi de façon que les coefficients d'une même inconnue (par exemple les 'y') soient opposés. Ensuite, on additionne les deux équations membre à membre. Les termes avec 'y' s'annulent, et il ne reste plus qu'une équation avec 'x' à résoudre. On trouve x, puis on le remplace dans une des équations de départ pour trouver y.
Exemple
Avec le même système : { x + y = 10 (L1) ; 4x + 2y = 28 (L2) } On veut éliminer y. Les coefficients de y sont 1 et 2. Si on multiplie L1 par (-2), on obtient : -2x - 2y = -20. On l'ajoute à L2 : (-2x - 2y) + (4x + 2y) = -20 + 28. Les 'y' s'annulent : 2x = 8, donc x = 4. On remplace x=4 dans L1 : 4 + y = 10, donc y = 6.
Formule
Multiplier → Additionner → Éliminer → Résoudre
Astuce
Pour choisir par quoi multiplier, cherche le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) des coefficients de l'inconnue que tu veux éliminer. Ici, pour éliminer y (coeff 1 et 2), le PPCM est 2.
4. Les inéquations : comparer au lieu d'égaliser
Jusqu'à présent, avec les équations, tu cherchais une valeur précise qui rendait les deux membres égaux. Avec une inéquation, c'est différent ! Le signe '=' est remplacé par <, >, ≤ ou ≥. Tu cherches alors toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'inégalité est vraie. On appelle cela l'ensemble des solutions. La résolution se fait presque comme une équation, avec une règle d'or TRÈS importante : quand on multiplie ou on divise les deux membres par un nombre NÉGATIF, il faut changer le sens de l'inégalité (< devient >, ≤ devient ≥, etc.).
Exemple
Problème : Un forfait cinéma coûte 20€ d'abonnement puis 5€ par séance. Je ne veux pas dépenser plus de 50€ ce mois-ci. Combien de séances puis-je voir ? Soit x le nombre de séances. La dépense est 20 + 5x. On veut : 20 + 5x ≤ 50. On résout : 5x ≤ 50 - 20 -> 5x ≤ 30 -> x ≤ 6. Je peux donc voir au maximum 6 séances.
Formule
a*x + b < c → a*x < c - b → x < (c - b)/a (si a > 0). Si a < 0, le sens change.
Astuce
Pour te souvenir de changer le sens avec un nombre négatif, pense à la droite numérique : multiplier par un négatif, c'est prendre le symétrique par rapport à zéro, donc l'ordre s'inverse !
5. Représentation graphique des solutions
Les solutions d'une inéquation ne sont pas un seul nombre, mais souvent une infinité de nombres (tous ceux plus petits ou plus grands qu'une certaine valeur). La meilleure façon de visualiser cela est de les représenter sur une droite graduée, aussi appelée axe des nombres. On place la valeur limite trouvée (appelée 'borne'), et on colorie ou hachure toute la partie de la droite qui correspond aux solutions. Un crochet tourné vers la valeur indique qu'elle est incluse (avec ≤ ou ≥), un crochet tourné vers l'extérieur indique qu'elle est exclue (avec < ou >).
Exemple
Pour x ≤ 6, on place un point sur le 6 de la droite graduée. Comme 6 est inclus (à cause du '≤'), on colorie en rouge le 6 et toute la partie à sa gauche (vers les nombres plus petits). On met un crochet [ tourné vers la gauche au niveau du 6. Pour x > -2, on place un point sur le -2. Comme -2 est exclu (à cause du '>'), on laisse le point vide et on colorie toute la partie à droite de -2. On met un crochet ] tourné vers la droite au niveau du -2.
Formule
x ≤ a : ]-∞ ; a] | x < a : ]-∞ ; a[ | x ≥ a : [a ; +∞[ | x > a : ]a ; +∞[
Astuce
Le crochet '[' ou ']' ressemble à un petit bras qui 'serre' la valeur quand elle est incluse dans les solutions. Quand elle est exclue, le bras est tourné vers l'extérieur, comme pour la repousser.
Notions clés à retenir
Système d'équations
Ensemble de plusieurs équations dont on cherche les valeurs des inconnues qui les vérifient toutes simultanément.
Couple solution
Paire de valeurs (x ; y) qui est solution des deux équations d'un système.
Substitution
Méthode de résolution d'un système qui consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre, puis à remplacer cette expression dans l'autre équation.
Combinaison linéaire
Méthode de résolution d'un système qui consiste à additionner ou soustraire les équations après les avoir multipliées par des nombres bien choisis, pour éliminer une inconnue.
Inéquation
Inégalité qui contient une inconnue. Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui vérifient cette inégalité.
Ensemble solution
Ensemble de tous les nombres qui sont solutions d'une équation ou d'une inéquation.
Changer le sens d'une inégalité
Opération nécessaire lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un même nombre strictement négatif (ex: < devient >).
Représentation graphique
Visualisation des solutions d'une inéquation sur une droite graduée, à l'aide de crochets et de zones coloriées.
Erreurs à éviter
- ✗Oublier de changer le sens de l'inégalité quand on multiplie/divise par un nombre négatif. C'est l'erreur la plus fréquente ! Ex: Pour -3x > 12, si on divise par -3 sans changer le sens, on écrit x > -4, alors que la bonne réponse est x < -4.
- ✗Confondre les méthodes de résolution de système. Parfois, la substitution est plus simple (si une inconnue a un coefficient de 1), parfois c'est la combinaison. Il faut s'entraîner à choisir.
- ✗Mal interpréter le résultat d'une inéquation. Par exemple, pour x ≤ 6, dire 'la solution est 6' est faux. La solution est tous les nombres inférieurs ou égaux à 6, y compris 5, 0, -10...
- ✗Se tromper dans les signes lors de la combinaison linéaire, surtout quand on multiplie par un nombre négatif avant d'additionner.
Types d'exercices
Résolution de système par substitution
On te donne un système simple, souvent avec un coefficient 1, et tu dois le résoudre en isolant puis en substituant. Ex: { y = 2x - 1 ; 3x + y = 9 }
Résolution de système par combinaison
On te donne un système où les coefficients se prêtent bien à l'élimination. Tu dois choisir par quoi multiplier pour éliminer x ou y. Ex: { 2x + 3y = 7 ; 5x - 3y = 1 }
Mise en équation d'un problème concret
Un petit énoncé (problème de monnaie, d'âge, de périmètre...) que tu dois traduire en un système de deux équations, puis résoudre.
Résolution et représentation d'une inéquation
On te donne une inéquation du type 4x - 7 < 2x + 5. Tu dois la résoudre, puis représenter ses solutions sur une droite graduée en précisant si la borne est incluse ou exclue.
Pour aller plus loin
- La résolution graphique d'un système : représenter les deux droites correspondant aux équations et lire les coordonnées de leur point d'intersection.
- Les systèmes qui n'ont pas de solution (droites parallèles) ou une infinité de solutions (droites confondues).
- Les inéquations produits ou quotients (du type (x+2)(x-3) ≥ 0), que tu verras en Seconde avec les tableaux de signes.
- L'utilisation des inéquations pour résoudre des problèmes d'optimisation (trouver un maximum ou un minimum sous certaines conditions).
